Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 7.2
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 7.2 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 7.2.4 (Lösung)
Bestimmen Sie den Vektor, der vom Punkt
−9)Aufgabe 7.2.5 (Lösung)
Eine Antenne einer Richtfunkstrecke ist auf einem Turm auf 47m Höhe montiert. Der Turm steht auf der Spitze eines 485m hohen Hügels. Die nächste Antenne der Richtfunkstrecke ist in 31m Höhe auf einem weiteren Turm montiert, der 4276m vom ersten entfernt auf 412m Seehöhe steht. Setzen Sie die beiden Antennen geeignet in das Koordinatensystem. Wie ist dann der Verbindungsvektor von der ersten Antenne zur zweiten Antenne?Aufgabe 7.2.7
Beweisen Sie explizit die Rechenregeln für \R^2 aus Proposition 7.2.6.Aufgabe 7.2.10 (Lösung)
Stellen Sie den Punkt Q=(-2,8) als Linearkombination der Elemente e_{1} und e_{2} dar.Aufgabe 7.2.11 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Seien u und v zwei beliebige Elemente des \R^{2}. Wir sagen, dass w\in\R^{2} dargestellt ist als Linearkombination von u und v, wenn
w = \la u+\mu v
für \la,\mu\in\R.
Stellen Sie R=(-1,4) dar als Linearkombination von A=(-3,-2)
und B=(2,5).
Aufgabe 7.2.13 (Lösung)
Untersuchen Sie, ob die Punkte R=(-4,-2), S=(1,8) und T=(4,7) jeweils auf \overline{PQ}, s_{P:Q} und g_{P:Q} liegen mit P=(-1,4) und Q=(2,10). Machen Sie eine Skizze, um die Lagebeziehungen auch zeichnerisch zu überprüfen. Wie verändern sich die Lagebeziehungen, wenn man \overline{QP}, s_{Q:P} und g_{Q:P} betrachtet?Aufgabe 7.2.15 (Lösung)
Seien P, Q und R drei Punkte. Beweisen Sie, dass R\in s_{P:Q} genau dann, wenn es ein \la\ge 0 gibt mit R=\la P+(1-\la)Q.Aufgabe 7.2.18 (Lösung)
Überprüfen Sie jeweils, ob die angegebenen Paare von Vektoren kollinear sind.- u=(1,3), v=(4,12);
- x=(12,4), y=(2,6);
- r=(1,4), s=(1,6).
Aufgabe 7.2.22 (Lösung)
Wie ist jeweils die Lagebeziehung der folgenden Paare von Geraden? Falls die Geraden einander schneiden, bestimmen Sie den Schnittpunkt. Untersuchen Sie rechnerisch und zeichnerisch.- g_{P:Q} und g_{Rv} mit P=(1,1), Q=(4,-1), R=(2,6) und v=(1,5).
- g_{Au} und g_{Bw} mit A=(-1,2), u=(2,4), B=(2,8) und w=(-1,-2).
- g_{Cx} und g_{D:E} mit C=(1,3), x=(-1,3), D=(0,6) und E=(1,5).
Aufgabe 7.2.25 (Lösung)
Betrachten Sie die beiden Richtfunkantennen aus Aufgabe 7.2.5. Wie weit sind die Antennen voneinander entfernt?Aufgabe 7.2.28 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Seien P,Q,R die Eckpunkte eines Dreiecks, und sei S ein beliebiger Punkt in der Ebene. Beweisen Sie, dass es immer reelle Zahlen \la, \mu und \nu gibt mit S=\la P+\mu Q+\nu R und \la+\mu+\nu=1. Das Tripel (\la,\mu,\nu) nennt man die baryzentrischen Koordinaten von S bezüglich des Dreiecks D_{PQR}. Zeigen Sie weiters, dass S\in D_{PQR} genau dann, wenn 0\leq \la, 0\leq\mu und 0\leq\nu gelten.Aufgabe 7.2.29 (Erweiterungsstoff) (Lösung)
Bestimmen Sie die baryzentrischen Koordinaten des Schwerpunktes (siehe [Kemnitz,p.114]) des Dreiecks D_{PQR} mit P=(1,1), Q=(4,8) und R=(2,5).Aufgabe 7.2.32 (Lösung)
Eine Schwimmboje soll durch eine gespannte Kette mit einem Poller am Ufer verbunden werden. Die Boje hat eine Höhe von 69cm und ist zu zwei Drittel untergetaucht. Die Befestigungsöse befindet sich an ihrer Spitze. Ebenfalls an der Spitze des 80cm hohen Pollers befindet sich die zweite Befestigungsöse. Der Poller steht am Ufer 1.5m über dem Wasserspiegel. Wie lang muss die Kette sein, dass sich die Schwimmboje mindestens 42m vom Ufer entfernen kann?Aufgabe 7.2.34
Beweisen Sie Proposition 7.2.33 explizit.Aufgabe 7.2.37 (Lösung)
Berechnen Sie die paarweisen Skalarprodukte der Vektoren u=(1,4), v=(-1,2), w=(3,5) und z=(-8,2).Aufgabe 7.2.39 (Lösung)
Weisen Sie explizit die Eigenschaften (IP1)–(IP3) des inneren Produkts nach.Aufgabe 7.2.41 (Lösung)
Beweisen Sie, dass Gleichheit in der Dreiecksungleichung \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\| genau dann gilt, falls die beiden Vektoren x und y kollinear und gleich orientiert sind oder einer der Vektoren der Nullvektor ist.Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy–Schwarz Ungleichung und den Zusammenhang zwischen Norm und Skalarprodukt.
Aufgabe 7.2.47 (Lösung)
Finden Sie drei Normalvektoren zum Vektor w=(1,2). Wie sehen alle Normalvektoren auf w aus?Aufgabe 7.2.48 (Lösung)
Spiegeln Sie den Punkt R=(2,5) an der Geraden g:=g_{P:Q} mit P=(0,1) und Q=(1,4). Gehen Sie dabei so vor, dass Sie die Gerade h bestimmen, die durch R geht und die normal auf g steht. Schneiden Sie g und h, und finden Sie den Punkt, der von R doppelt so weit entfernt ist wie der Schnittpunkt von g und h. Fertigen Sie auch eine Zeichnung an.Aufgabe 7.2.51 (Lösung)
Bestimmen Sie Geradengleichung und Hessesche Normalform für die folgenden Geraden:- g_{P:Q} mit P=(1,3) und Q=(4,-2),
- g_{Rv} mit R=(-2,-3) und v=e_{2},
- g_{Sw} mit S=(2,1) und w=e_{1}.
Aufgabe 7.2.54 (Lösung)
Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P=(3,6) von der Geraden g_{Qv} mit Q=(-1,2) und v=(3,4).Aufgabe 7.2.55 (Lösung)
Wiederholen Sie Beispiel 7.2.48, indem Sie mit Hilfe der Hesseschen Normalform von g einen zweiten Punkt auf der Normalen zu g durch R finden, der denselben Normalabstand von g hat wie R.Aufgabe 7.2.57 (Lösung)
Gegeben sind die Punkte A=(-2,-4), B=(4,4), C=(3,19) und D=(-9,3). Prüfen Sie nach, dass ABCD ein Trapez bildet. (Eines der beiden Paare von gegenüberliegenden Seiten muss zueinander parallel sein.) Berechnen Sie weiters die vier Winkel, den Umfang, den Flächeninhalt und die Höhe (den Abstand der parallelen Seiten).Aufgabe 7.2.60 (Lösung)
Schneiden Sie die Geraden g_{1}:4x+3y=29, g_{2}:x-3y=19 und g_{3}:=g_{P:Q}, für P=(-1,3) und Q=(8,4), mit dem Kreis S_{5}(-2,4). Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse zeichnerisch.Aufgabe 7.2.61 (Lösung)
Über einen kreisförmigen Teich mit 12m Durchmesser soll ein 80cm breiter Steg gebaut werden. Der Normalabstand der Mittellinie des Steges vom Mittelpunkt des Teiches soll 6m betragen. Die Stützen des Steges, die genauso breit wie der Steg sind, sollen außerhalb des Wassers mit 50cm Mindestabstand vom Ufer stehen. Wie weit sind die Stützen voneinander entfernt?Aufgabe 7.2.62 (Lösung)
Einem Kreis mit Radius R, dessen Mittelpunkt M im Ursprung liegt, ist ein kleinerer Kreis mit Radius r eingeschrieben (siehe Skizze). Sein Mittelpunkt m habe die Koordinaten x und y. Der Berührpunkt C der beiden Kreise ist einer der Eckpunkte eines achsenparallelen Dreiecks, dessen weitere Eckpunkte A und B auf den Achsen liegen. Bestimmen Sie die Länge der Seite c dieses Dreiecks.
Aufgabe 7.2.64 (Lösung)
Rechnen Sie explizit nach, dass die Drehung D_\ph in der Ebene eine lineare Abbildung ist, d.h. zeigen Sie explizit die Gültigkeit von (7.13).Aufgabe 7.2.65 (Lösung)
Zeigen Sie, dass für \la\in\R die Abbildung (x_{1},x_{2})\mapsto(\la x_{1},\la x_{2}) linear ist.Aufgabe 7.2.67 (Lösung)
Weisen Sie explizit nach, dass die im Beweisteil (i) verwendete TatsacheA(x+y)=Ax+Ay\quad\text{und}\quad A(\la x)=\la Ax
für alle A\in M_{2}(\R), x,y\in\R^2 und \la\in\R gilt.
Aufgabe 7.2.68
Rechnen Sie explizit nach, dass (AB)x=A(Bx) gilt für A,B\in M_{2}(\R) und x\in\R^{2}.Aufgabe 7.2.69 (Lösung)
Geben Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildung aus Aufgabe 7.2.65 an. Veranschaulichen Sie die geometrische Wirkung der Abbildung grafisch.Aufgabe 7.2.70 (Lösung)
Veranschaulichen Sie die geometrische Wirkung der linearen Abbildung, deren Matrixdarstellung
D =
\begin{pmatrix}
\mu & 0 \\ 0 & \nu
\end{pmatrix}
ist.
Aufgabe 7.2.71 (Lösung)
Sei 0\neq v\in\R^{2} gegeben. Betrachten Sie die Matrix
S_{v} := \mathbb{I} - \frac{2}{\|v\|^{2}}
\begin{pmatrix}
v_{1}^{2} & v_{1}v_{2} \\ v_{1}v_{2} & v_{2}^{2}
\end{pmatrix}.
Welche geometrische Wirkung hat die lineare Abbildung, die von
S_{v} definiert wird? Untersuchen Sie dazu die folgenden
Spezialfälle für v: e_{1}, e_{2}, (1,1), (-1,1).
Gewinnen Sie daraus eine Vermutung, und beweisen Sie dann Ihre
Vermutung.
Hinweis: Betrachten Sie das Bild der Vektoren e_{1}, e_{2}, (-v_{2},v_{1}) auch graphisch.
Aufgabe 7.2.72 (Lösung)
Seien S und T zwei Spiegelungsmatrizen wie in Aufgabe 7.2.71. Zeigen Sie, dass D=ST eine Drehung beschreibt. Um welchen Winkel wird gedreht?Aufgabe 7.2.74
Zeigen Sie dass für eine bijektive lineare Abbildung f mit Matrixdarstellung M_f die Inverse Abbildung f^{-1} tatsächlich von der inversen Matrix (M_f)^{-1} dargestellt wird, also dass M_{f^{-1}}=(M_f)^{-1} gilt.Hinweis: Ziehen Sie ihre Aufzeichnungen zu Aufgabe 5.2.32 zu Rate.