Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 7.4
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 7.4 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 7.4.4
Überzeugen Sie sich explizit davon, dass der Beweis von Proposition 7.4.3 völlig analog zu den Fällen $n=2$ und $n=3$ geführt werden kann.Aufgabe 7.4.6 (Lösung)
- Stellen Sie den Vektor $(4,5,2,3,6,8)\in\R^{6}$ als Linearkombination der Standardbasisvektoren dar.
- Es sei der Vektor $v\in\R^{m}$ mit $v_{i}=\tfrac{i}{i^{2}+1}$ für $i=1,\dots,m$ gegeben. Stellen Sie $v$ als Linearkombination der Standardbasisvektoren dar. Schreiben Sie die Linearkombination dabei mit Hilfe des Summensymbols an.
Aufgabe 7.4.7 (Lösung)
Betrachten wir noch einmal die Firma aus Beispiel 7.1.1. Nehmen wir an, dass vor Schulanfang der folgende Lagerbestand vorhanden ist: $52$ Kessel, $983$ Federn, $1512$ Fässchen Tinte, $918$ Blatt Pergament und $44$ Mörser. Wie viel muss nachproduziert werden, damit alle Kunden beliefert werden können? Welche Mengen bleiben im Lager übrig? Welche Rechnung im $\R^{5}$ müssen Sie ausführen?Aufgabe 7.4.10 (Lösung)
Überprüfen Sie, ob die folgenden vier Vektoren des $\R^{4}$ linear unabhängig sind: $v_{1}=(1,0,-1,0)$, $v_{2}=(0,2,3,0)$, $v_{3}=(1,1,0,3)$ und $v_{4}=(-2,0,0,1)$.Aufgabe 7.4.13
Beweisen Sie Proposition 7.4.12, indem Sie den Beweis von Proposition 7.3.35 resp. Ihre Lösung von Aufgabe 7.3.36 studieren und sich davon überzeugen, dass die Einschränkung $n=3$ ohne Probleme fallen gelassen werden kann.Aufgabe 7.4.14 (Lösung)
Betrachten wir ein weiteres Mal die Firma aus Beispiel 7.1.1, die Schulprodukte liefert. In Aufgabe 7.4.7 haben Sie berechnet, wie viel nachbestellt werden muss, um die Kunden zu Schulbeginn beliefern zu können. Berechnen Sie nun, wie viel zusätzlich hergestellt werden muss, damit die nächsten drei (normal großen) Bestellungen ebenfalls abgewickelt werden können. Die Hauszauberer der Firma benötigen zur Herstellung jedes Kessels $480$ Sekunden, für eine Feder $18$ Sekunden, für ein Fässchen Tinte $60$ Sekunden, für ein Blatt Pergament $20$ Sekunden und für jeden Mörser $240$ Sekunden. Wie lange muss der Firmenchef warten, bis seine Lager aufgefüllt sind? Wenn Sie die Zeitdauern zu dem (Zeit)Kostenvektor $$c = (480,18,60,20,240)$$ zusammenfassen, wie können Sie dann bei dieser Berechnung das innere Produkt einsetzen?Aufgabe 7.4.17
Beweisen Sie Proposition 7.4.16, indem Sie feststellen, dass im Beweis von Proposition 7.3.40 die Einschränkung $n=3$ nicht verwendet wurde. Welche Voraussetzungen und Resultate wurden überhaupt im Beweis von Proposition 7.3.40 verwendet?Aufgabe 7.4.19
Beweisen Sie Proposition 7.4.18, indem Sie feststellen, dass die Einschränkung $n=3$ im Beweis von Proposition 7.3.42 nicht nötig war. Was genau wurde denn im Beweis von Proposition 7.4.18 überhaupt verwendet?Aufgabe 7.4.23 (Lösung)
Beweisen Sie Proposition 7.4.22 und Formel (7.28).Aufgabe 7.4.27 (Lösung)
Berechnen Sie — wenn möglich — $A_{i}+A_{j}$ und $A_{i}A_{j}$ für $i,j=1,\dots,8$ für die Matrizen
\begin{gather*}
A_{1}:=
\begin{pmatrix}
\;1\;&\;2\;&\;5\;\\
-1&0&-2\\
3&4&1\\
2&1&5
\end{pmatrix},\quad
A_{2}:=
\begin{pmatrix}
\;0\;&\;1\;&\;3\;\\
2&0&8\\
0&4&3\\
1&1&-3
\end{pmatrix},\quad
A_{3}:=
\begin{pmatrix}
\;1\;&\;0\;\\
-1&2\\
3&-2\\
0&0
\end{pmatrix},\\
A_{4}:=
\begin{pmatrix}
\;1\;&\;0\;&\;3\;&-1\\
2&1&-1&\;0\;
\end{pmatrix},\quad
A_{5}:=
\begin{pmatrix}
\;3\;&\;0\;&\;1\;\\
-1&0&-1\\
2&-4&1
\end{pmatrix},\quad
A_{6}:=
\begin{pmatrix}
1\\2\\0\\3
\end{pmatrix},\\
A_{7}:=
\begin{pmatrix}
\;4\;&\;0\;&\;1\;&\;2\;\\
-1&7&0&-2\\
3&-2&1&0
\end{pmatrix},\quad
A_{8}:=
\begin{pmatrix}
\;0\;&\;1\;&\;2\;&\;1\;&\;4\;&\;1\;\\
-1&2&4&-1&0&1
\end{pmatrix}.
\end{gather*}