Wenn Sie das Buch noch nicht kennen, dann können Sie hier weitere Informationen finden.

Lösung für Aufgabe 7.4.23

Beweisen Sie Proposition 7.4.22 und Formel (7.28).


Wir können einfach den Beweis von Proposition 7.2.52 auf den $\R^n$ übertragen: Der Normalabstand von $R$ zu $h_{P,\mathfrak{n}}$ ist der Abstand $d(R,F)$, wobei $F$ der Schnittpunkt von $h_{P,\mathfrak{n}}$ mit der Geraden $g_{R\mathfrak{n}}$ ist. Der Schnittpunkt lässt sich einerseits schreiben als $F=R+\la\mathfrak{n}_{0}$ für ein reelles $\la$ (hier ist $\mathfrak{n}_{0}$ der normierte orientierungsgleiche kollineare Vektor zu $\mathfrak{n}$). Andererseits gilt $\ip{\mathfrak{n}_{0}}F-d=0$. Setzen wir für $F$ ein, so erhalten wir $\ip{\mathfrak{n}_{0}}{R+\la\mathfrak{n}_{0}}-d=0$. Nun verwenden wir Proposition 7.4.12 und finden $$ 0=\ip{\mathfrak{n}_{0}}R+\la\ip{\mathfrak{n}_{0}}{\mathfrak{n}_{0}}-d= \ip{\mathfrak{n}_{0}}R+\la-d, $$ also $\la=\ip{\mathfrak{n}_{0}}R-d$. Nun gilt $$ d(R,F)=\|F-R\|=\|R+\la\mathfrak{n}_{0}-R\|=|\la|\,\|\mathfrak{n}_{0}\|=|\la|= |\ip{\mathfrak{n}_{0}}R-d|. $$