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Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 7.1

Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 7.1 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.

 

Aufgabe 7.1.3 (Lösung)

Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme:
  1. $\begin{array}{rcrcr} 3x_{1} & + & 4x_{2} & = & 3 \\ 2x_{1} & + & 2x_{2} & = & 4, \end{array}$
     
  2. $\begin{array}{rcrcrl} x & + & y & = & a \\ x & - & y & = & b&\quad a,\,b\in\R\,,\mbox{ (konstant)}, \end{array}$
     
  3. $\begin{array}{rcrcrcl} 3x_{1} &+& 4x_{2} &+& x_{3} &=& 1 \\ 2x_{1} &-& x_{2} &&&=& 2 \\ x_{1} &&&+& 3x_{3} &=& 5, \end{array}$
     
  4. $\begin{array}{rcrcrcrcll} 5a &-& 2b &+& 3c &-& 4d &=& 0 \\ 2a &+& b &&&&&=& 0 \\ &&&&3c &-& 2d &=& x \\ a &&&+& 6c &&&=& y &\quad x,\,y\in\R\,,\mbox{ (konstant)}. \end{array}$
 

Aufgabe 7.1.4 (Lösung)

Nach dem Ohmschen Gesetz besteht zwischen Spannung $U$, Widerstand $R$ und Stromstärke $I$ eines elektrischen Leiters die Beziehung $U=R\cdot I$. An den Enden eines Leiters liegt die Spannung $U=220$ Volt. Wird der Widerstand $R$ um $144$ Ohm erhöht, so sinkt die Stromstärke um $1$ Ampere. Wie groß ist der Widerstand des Leiters?
 

Aufgabe 7.1.5 (Lösung)

Eine Strecke von $80\,cm$ soll so in zwei Teile geteilt werden, dass diese beiden Strecken Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks mit dem Flächeninhalt $768\,cm^2$ sein können. Wie lang sind die Teile?
 

Aufgabe 7.1.6 (Lösung)

Der Wiener Rathausturm wirft auf den vor ihm liegenden waagrechten Platz einen $136,6\,m$ langen Schatten. Die Sonnenstrahlen schlie"sen zu diesem Zeitpunkt mit dem Erdboden einen Winkel von $36,27^\circ$ ein. Wie hoch ist der Rathausturm?
 

Aufgabe 7.1.7 (Lösung)

Wiederholen Sie die Definition der Winkelfunktionen und ihre Funktionsgraphen. Dann lösen Sie die folgenden Aufgaben:
  1. Bestimmen Sie alle reellen $x$, für die $\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt.
  2. Bestimmen Sie alle $x\in [0,2\pi ]$, für die $\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt.
  3. Bestimmen Sie alle $x\in [0,\frac{\pi}{2}]$, für die $\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt.
  4. Bestimmen Sie alle $x\in [\frac{\pi}{2},\pi ]$, für die $\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt.
  5. Bestimmen Sie alle $x\in [0,\pi ]$, für die $\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt.
  6. Bestimmen Sie alle $x\in [-\pi ,0]$, für die $\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt.
  7. Bestimmen Sie alle $x\in [-2\pi ,0]$, für die $\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt.
  8. Bestimmen Sie alle $x\in [6\pi ,\frac{13\pi}{2}]$, für die $\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gilt.
 

Aufgabe 7.1.8 (Lösung)

  1. Zeigen Sie mit Hilfe der Summensätze, dass $\cos 2x=2\cos^2x-1$ gilt.
  2. Berechnen Sie ohne Taschenrechner $\cos\frac{\pi}{8}$.
  3. Bestimmen Sie ohne Taschenrechner $\sin\frac{\pi}{8}$.
 

Aufgabe 7.1.9 (Lösung)

  1. Zeigen Sie, dass $\sin (u+v)+\sin (u-v)= 2\sin u\cos v$ gilt.
  2. Falls $x$ und $y$ gegeben sind, wie muss man $u$ und $v$ wählen, dass $u+v=x$ und $u-v=y$ gelten?
  3. Leiten Sie aus 1. und 2. eine Formel für $\sin x+\sin y$ her.
  4. In analoger Weise leiten Sie eine Formel für $\cos x+\cos y$ her.
 

Aufgabe 7.1.10 (Lösung)

Unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Winkels, den die Straße mit der Horizontalen einschließt, also $\tan \alpha = \frac{h}{b}$. Dabei ist $h$ der Höhenunterschied und $b$ die Länge der Projektion des Straßenstückes auf die Horizontale.
  1. Berechnen Sie für folgende Straßensteigungen den dazugehörigen Winkel: 10%, 15%, 20%, 25%.
  2. Jemand legt auf einer unter 18% ansteigenden Straße einen Kilometer zurück. Welchen Höhenunterschied hat er dabei überwunden?
 

Aufgabe 7.1.11 (Lösung)

Zeigen Sie, dass $\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$ gilt.
 

Aufgabe 7.1.12 (Lösung)

Ein dreieckiger Acker wird an zwei Seiten von Straßen begrenzt, die sich an einer Ecke des Ackers rechtwinkelig schneiden. Die dritte Grundstücksgrenze des Ackers ist eine $183 m$ lange gerade Linie, die die linke begrenzende Straße in einem Winkel von $0.82659$ schneidet. Berechnen Sie den Winkel, unter dem die Grundgrenze die andere Straße schneidet, und die Längen der anderen beiden Ackergrenzen, sowie die Fläche des Anbaugebietes, wenn bei der Bepflanzung von jeder der Straßen $2m$ Abstand gehalten werden muss.
 

Aufgabe 7.1.13 (Lösung)

Von einem Leuchtturm aus werden zwei Schiffe angepeilt. Das erste Schiff liegt in einer Entfernung von $2,82\,km$, das zweite ist $3,12\,km$ entfernt. Der Winkel zwischen den Peilstrahlen beträgt $27{,}8^\circ$. Wie weit sind die beiden Schiffe voneinander entfernt?
 

Aufgabe 7.1.14 (Lösung)

In einer Stadt $A$ empf"angt man das Funksignal eines notgelandeten Flugzeuges aus der Richtung S 10,5$^\circ$ O (d.h. von der Südrichtung ausgehend schwenken wir 10,5$^\circ$ in Richtung Osten), in einer Stadt B aus der Richtung N 72,2$^\circ$ W. $B$ liegt $670\,km$ von $A$ entfernt in Richtung S 46$^\circ$ O. Wie weit ist das Flugzeug von $A$ und $B$ entfernt?