Einführung in das mathematische Arbeiten

Lösung für Aufgabe 7.1.9

1. Zeigen Sie, dass sin(u+v)+sin(u−v)=2sinucosv gilt.
2. Falls x und y gegeben sind, wie muss man u und v wählen, dass u+v=x und u-v=y gelten?
3. Leiten Sie aus 1. und 2. eine Formel für \sin x+\sin y her.
4. In analoger Weise leiten Sie eine Formel für \cos x+\cos y her.

1. Zunächst folgt aus dem Summensatz
   \sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v,
   dass
   \sin(u-v) = \sin(u+(-v))=\sin u\cos(-v)+\cos u\sin(-v).
   Weil \sin eine ungerade Funktion ist und \cos eine gerade folgt
   \sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v.
   Addieren wir die erste und die letzte Gleichung, so folgt das gewünschte Resultat.
2. Dazu verwenden wir Aufgabe 7.1.3 und erhalten
   u=\frac{x+y}2,\quad v=\frac{x-y}2.
3. Es gilt
   \sin x+\sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac{x-y}2\right).
4. \cos x+\cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}2\right)\cos\left(\frac{x-y}2\right).

© 2009--2018 Hermann Schichl, Roland Steinbauer | Generated by webgen | Mathematics by jsMath | Design by Hermann Schichl, Roland Steinbauer, Thomas Leitner