Lösung für Aufgabe 7.2.72
Seien $S$ und $T$ zwei Spiegelungsmatrizen wie in Aufgabe 7.2.71. Zeigen Sie, dass $D=ST$ eine Drehung beschreibt. Um welchen Winkel wird gedreht?Das Produkt der beiden Spiegelungsmatrizen $S_v$ und $S_w$ ist $$ S_v S_w = \frac1{\|v\|^2\,\|w\|^2}\begin{pmatrix} (v_1^2-v_2^2)(w_1^2-w_2^2)+4v_1v_2w_1w_2 & 2((v_1^2-v_2^2)w_1w_2-v_1v_2(w_1^2-w_2^2)) \\ -2((v_1^2-v_2^2)w_1w_2-v_1v_2(w_1^2-w_2^2)) & (v_1^2-v_2^2)(w_1^2-w_2^2)+4v_1v_2w_1w_2 \end{pmatrix} $$ Sie hat die Form einer Drehungsmatrix $D_\ph$ mit $$ \cos\ph = {\;}\frac{(v_1^2-v_2^2)(w_1^2-w_2^2)+4v_1v_2w_1w_2}{\|v\|^2\,\|w\|^2} ={\;} \frac{2(v_1^2w_1^2+v_2^2w_2^2+2v_1v_2w_1w_2)-(v_1^2+v_2^2)(w_1^2+w_2^2)}{\|v\|^2\,\|w\|^2}= 2\frac{(v_1w_1+v_2w_2)^2}{\|v\|^2\,\|w\|^2}-1. $$ Der Winkel zwischen den Vektoren $v$ und $w$ beträgt $$ \cos\al = {\;}\frac{v_1w_1+v_2w_2}{\|v\|\,\|w\|}, $$ also gilt $$ \cos\ph = 2\cos^2\al-1 = \cos(2\al). $$ Die Drehung erfolgt also um den doppelten Winkel, den $v$ und $w$ einschließen.