Einführung in das mathematische Arbeiten

Lösung für Aufgabe 7.2.28 (Erweiterungsstoff)

Seien P

R die Eckpunkte eines Dreiecks, und sei S ein beliebiger Punkt in der Ebene. Beweisen Sie, dass es immer reelle Zahlen \la, \mu und \nu gibt mit S=\la P+\mu Q+\nu R und \la+\mu+\nu=1. Das Tripel (\la,\mu,\nu) nennt man die baryzentrischen Koordinaten von S bezüglich des Dreiecks D_{PQR}. Zeigen Sie weiters, dass S\in D_{PQR} genau dann, wenn 0\leq \la, 0\leq\mu und 0\leq\nu gelten.

Weil P,Q,R ein Dreieck bilden, sind v:=Q-P und w:=R-P nicht kollinear.

\begin{eqnarray*} S=\la P+\mu Q+\nu R &\liff& S=(1-\mu-\nu)P+\mu Q+\nu R = P+\mu(Q-P)+\nu(R-P) \\ &\liff& \underbrace{S-P}_{u\in\R^2\text{beliebig}} = \mu(Q-P)+\nu(R-P)= \mu v+\nu w \end{eqnarray*}

Es bleibt die folgende Behauptung zu zeigen: Sind v, w nicht kollinear und u\in\R^2 beliebig, dann gibt es (\mu,\nu)\in\R^2 mit u=\mu v+\nu w.

Beweis: Betrachten wir die Geraden g_{0v} und g_{u(-w)}. Nach Theorem 7.2.19 besitzen sie einen Schnittpunkt R, weil v und w nicht kollinear sind. Wegen R\in g_{Ov} gibt es \mu mit R=0+\mu v. Wegen R\in g_{u(-w)} gibt es \nu mit R=u+\nu(-w), also u=0+\mu v+\nu w. Das beweist die Behauptung und den Rest.