Lösung für Aufgabe 7.2.71
Sei $0\neq v\in\R^{2}$ gegeben. Betrachten Sie die Matrix $$ S_{v} := \mathbb{I} - \frac{2}{\|v\|^{2}} \begin{pmatrix} v_{1}^{2} & v_{1}v_{2} \\ v_{1}v_{2} & v_{2}^{2} \end{pmatrix}. $$ Welche geometrische Wirkung hat die lineare Abbildung, die von $S_{v}$ definiert wird? Untersuchen Sie dazu die folgenden Spezialfälle für $v$: $e_{1}$, $e_{2}$, $(1,1)$, $(-1,1)$. Gewinnen Sie daraus eine Vermutung, und beweisen Sie dann Ihre Vermutung.Hinweis: Betrachten Sie das Bild der Vektoren $e_{1}$, $e_{2}$, $(-v_{2},v_{1})$ auch graphisch.
Die Abbildung $S_v$ beschreibt eine Spiegelung um die Normalgerade auf $v$. Für die angegebenen Spezialfälle ist $S_v$ gegeben durch die Matrizen $$ S_{e_1}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad S_{e_2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad S_{(1,1)}=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix},\quad S_{(-1,1)}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. $$ Betrachten wir $v$ beliebig und $P\in\R^2$. Das Bild von $P$ unter $S_v$ ist $$ S_{v}P = \mathbb{I}P - \frac{2}{\|v\|^{2}} \begin{pmatrix} v_{1}^{2} & v_{1}v_{2} \\ v_{1}v_{2} & v_{2}^{2} \end{pmatrix}P = P - \frac{2}{\|v\|^2} \begin{pmatrix} v_{1}^{2}P_1 + v_{1}v_{2}P_2 \\ v_{1}v_{2}P_1 + v_{2}^{2}P_2 \end{pmatrix} = P - \frac{2(v_1P_1+v_2P_2)}{\|v\|^2} \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix} $$ Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{P(S_vP)}=P-S_vP$ ist kollinear zu $v$, steht also normal auf die Normalgerade. Die Länge der Strecke $\ol{P(S_vP)}$ ist $$ \left|\frac{2(v_1P_1+v_2P_2)}{\|v\|^2}\right|\,\|v\| = 2\frac{|v_1P_1+v_2P_2|}{\|v\|}. $$ Die Normalgerade $g$ auf $v$ hat die Gleichung $v_1x_1+v_2x_2=0$ und die HNF $\frac{v_1x_1+v_2x_2}{||v||}$. Der Abstand von $P$ zu $g$ ist also $$ \frac{|v_1P_1+v_2P_2|}{\|v\|}, $$ also genau der halbe Abstand von $P$ zu $S_vP$. Daher ist der Punkt $S_vP$ tatsächlich der um $g$ gespiegelte Punkt $P$.
