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Lösung für Aufgabe 7.2.55

Wiederholen Sie Beispiel 7.2.48, indem Sie mit Hilfe der Hesseschen Normalform von g einen zweiten Punkt auf der Normalen zu g durch R finden, der denselben Normalabstand von g hat wie R.


Wir erstellen die HNF der Geraden: \frac{3x-y+1}{\sqrt{10}}=0 und berechnen den Abstand d=\tfrac2{\sqrt{10}} von R durch Einsetzen. Der gespiegelte Punkt muss denselben Abstand aufweisen und auf der Normalgeraden durch R liegen, also auf h:x=\binom25+t\binom3{-1}. In die HNF eingesetzt ergibt das die Gleichung
\left|\frac{2+10t}{\sqrt{10}}\right|=\frac2{\sqrt{10}}.
Wir finden t=0 und t=-\tfrac25 als Lösungen und erhalten den gespiegelten Punkt
R'=\binom25-\frac25\binom3{-1}=\binom{\tfrac45}{\tfrac{27}5}.