Lösung für Aufgabe 7.2.39
Weisen Sie explizit die Eigenschaften (IP1)–(IP3) des inneren Produkts nach.Sei $x=(x_1,x_2)$ und $y=(y_1,y_2)$.
- (IP1): Es gilt $\ip xx = x_1^2+x_2^2 \geq 0$. Ist $\ip xx=0$, so folgt $x_1^2+x_2^2=0$, also $x_1^2=x_2^2=0$, weil beide Terme der Summe nichtnegativ sind, und daher gilt $x_1=x_2=0$.
- (IP2): Wir rechnen $$ \ip xy = x_1y_1+x_2y_2 = y_1x_1+y_2x_2 = \ip yx. $$
- (IP3): Auch die Bilinearität rechnen wir direkt nach: \begin{eqnarray*} \ip{\la x+\mu y}z &=& (\la x_1+\mu y_1)z_1+(\la x_2+\mu y_2)z_2 \\ &=& \la x_1z_1+\mu y_1z_1 + \la x_2z_2+\mu y_2z_2 \\ &=& \la(x_1z_1+x_2z_2) + \mu(y_1z_1+y_2z_2) = \la\ip xz+\mu\ip yz. \end{eqnarray*}