Lösung für Aufgabe 7.2.67
Weisen Sie explizit nach, dass die im Beweisteil (i) verwendete Tatsache $$A(x+y)=Ax+Ay\quad\text{und}\quad A(\la x)=\la Ax$$ für alle $A\in M_{2}(\R)$, $x,y\in\R^2$ und $\la\in\R$ gilt.Es gilt für $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ und $x=(x_1,x_2)$ $$ Ax=(a_{11}x_1+a_{12}x_2,a_{21}x_1+a_{22}x_2). $$ Seien $A\in M_2(\R)$, $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\R^2$ und $\la\in\R$ gegeben. Dann gilt \begin{eqnarray*} A(x+y)&=&A\begin{pmatrix}x_1+y_1\\x_2+y_2\end{pmatrix}=(a_{11}(x_1+y_1)+a_{12}(x_2+y_2),a_{21}(x_1+y_1)+a_{22}(x_2+y_2))\\ &=&(a_{11}x_1+_{12}x_2+a_{11}y_1+a_{12}y_2,a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{21}y_1+a_{22}y_2)\\ &=&(a_{11}x_1+a_{12}x_2,a_{21}x_1+a_{22}x_2)+(a_{11}y_1+a_{12}y_2,a_{21}y_1+a_{22}y_2)=Ax+Ay,\\ A(\la x)&=&A\begin{pmatrix}\la x_1\\\la x_2\end{pmatrix}=(a_{11}(\la x_1)+a_{21}(\la x_2),a_{21}(\la x_1)+a_{22}(\la x_2))\\ &=&(\la(a_{11}x_1+a_{12}x_2),\la(a_{21}x_1+a_{22}x_2))\\ &=&\la(a_{11}x_1+a_{12}x_2,a_{21}x_1+a_{22}x_2)=\la Ax. \end{eqnarray*}