Einführung in das mathematische Arbeiten

Aufgabe 2.5.3 (Lösung)

Beweisen Sie die Summenformel für die geometrische Reihe, d.h. für beliebiges reelles $q$ und $n$ in $\N$ zeigen Sie $$ \sum_{k=0}^{n}q^{k} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. $$

Aufgabe 2.5.4 (Lösung)

Beweisen Sie die Summenformel für die arithmetische Reihe: Seien $a_0$ und $d$ in $\R$ fix gegeben und setzen Sie $a_{k+1}=a_{k}+d=a_0+(k+1)d$. Zeigen Sie, dass für alle natürlichen $n$ gilt, dass $$ \sum_{k=0}^{n}a_{k} = (n+1)\bigl(a_{0}+d\tfrac{n}2\bigr). $$

Aufgabe 2.5.5 (Lösung)

Beweisen Sie die folgenden Identitäten für alle natürlichen $n\geq 1$:

1. $\displaystyle\sum_{k=0}^n q^{-k}\,=\,\frac{q^{n+1}-1}{q^n(q-1)}$, $q\not=1$
2. $\displaystyle\sum _{k=1} ^{n} (k^3+k) = \frac {n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$
3. $\displaystyle\sum _{k=2} ^{n} \frac {1} {k(k-1)} = \frac {n-1} {n} \quad$

Aufgabe 2.5.6 (Lösung)

Beweisen Sie die folgenden Identitäten für alle angegebenen $n\in\N$:

1. $\displaystyle\sum_{k=0}^n (3k-2)\,=\,\frac{(1+n)(3n-4)}{2}$, $n\geq 0$
2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}\,=\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $n\geq 1$
3. $(1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})\dots(1+x^{2^{n-1}})(1+x^{2^{n}})\,=\, \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$, $x\neq 1$, $n\geq 0$

Aufgabe 2.5.7 (Lösung)

Wir beweisen:

Alle Menschen sind blond.

Zwar ist die Anzahl aller Menschen endlich, da wir diese aber nicht genau kennen, führen wir den Beweis mittels vollst"andiger Induktion: F"ur den Induktionsanfang wird es Ihnen nicht schwer fallen, einen blonden Menschen zu benennen. Als Induktionsannahme postulieren wir, wir h"atten bereits f"ur alle Menschenmengen der Größe $k$ gezeigt, dass sie nur blonde Menschen enthalten. F"ur den Induktionsschritt betrachten wir nun eine beliebige Menge von $k+1$ Menschen $\mathcal{M}:=\{M_0,M_1,\dots,M_{k}\}$. Wir bilden nun die Mengen $\mathcal{M}_0:=\{M_0,\dots,M_{k-1}\}$ und $\mathcal{M}_1:=\{M_1,\dots,M_k\}$. Beide dieser Mengen haben $k$ Elemente, und daher sind jeweils alle in ihnen enthaltenen Menschen blond, nach Induktionssannahme. Weil jeder Mensch aus $\mathcal{M}$ in $\mathcal{M}_0$ oder in $\mathcal{M}_1$ enthalten ist, ist jeder Mensch in $\mathcal{M}$ blond. Daher enthalten alle Menschenmengen der Gr"o"se $k+1$ nur blonde Menschen. Aus vollst"andiger Induktion folgt daher, dass alle Menschen blond sind. \medskip Diskutieren Sie den obigen Beweis.

Hinweis: Wenn Sie sich schwer tun, den Fehler im Beweis zu finden, dann konzentrieren sie sich auf den Induktionsanfang.

Aufgabe 2.5.8 (Lösung)

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Bernoullische Ungleichung $$ (1+x)^n \ge 1+ n x, \quad \text {für $x \ge -1$ und $n \in \mathbb N$.} $$

Aufgabe 2.5.9 (Lösung)

Beweisen Sie, dass $n^3-n$ für alle $n \in \N$ durch 6 teilbar ist.

Aufgabe 2.5.10 (Lösung)

Für welche $n\in \N$ gilt $2^n > n^2$? Beweisen Sie ihre Vermutung mit vollständiger Induktion!

Aufgabe 2.5.15 (Lösung)

Beweisen Sie $\sum_{k=0}^{n}\binom nk = 2^{n}$.

Hinweis: Verwenden Sie den Binomischen Lehrsatz!

Aufgabe 2.5.16 (Lösung)

Berechnen Sie $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\binom nk$.

Hinweis: Vergessen Sie nicht, den Fall $n=0$ gesondert zu betrachten!

Aufgabe 2.5.17 (Lösung)

In manchen Büchern wird der Binomialkoeffizient durch seine geschlossene Formel definiert, also durch \begin{equation} \binom nk := \begin{cases} 0 & \text{falls $n<0$ oder $k>n$}\\ \displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!} & \text{sonst.} \end{cases} \end{equation} In diesem Fall muss die rekursive Darstellung (unsere Definition) bewiesen werden. Um dies nachzuvollziehen, nehmen Sie an, dass (2.5.17) gilt und beweisen Sie, dass dann auch $$ \binom{0}{0}=1\quad \text{und}\quad \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} $$ gelten.

Aufgabe 2.5.18 (Lösung)

Beweisen Sie: Der Binomialkoeffizient erfüllt die Identität