Lösung für Aufgabe 2.5.18
Beweisen Sie: Der Binomialkoeffizient erfüllt die Identität
\binom nk = \prod_{i=1}^{k}\frac{n+1-i}{i}.
Es gilt \begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{k}\frac{n+1-i}{i}&=&\frac{n}1\cdot \frac{n-1}2\cdot \cdots\cdot \frac{n+1-k}k\\ &=&\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot 1}\\ &=&\frac{n!}{(n-k)!}\cdot \frac1{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k} \end{eqnarray*} $\Box$