Lösung für Aufgabe 2.5.4
Beweisen Sie die Summenformel für die arithmetische Reihe: Seien $a_0$ und $d$ in $\R$ fix gegeben und setzen Sie $a_{k+1}=a_{k}+d=a_0+(k+1)d$. Zeigen Sie, dass für alle natürlichen $n$ gilt, dass $$ \sum_{k=0}^{n}a_{k} = (n+1)\bigl(a_{0}+d\tfrac{n}2\bigr). $$Induktionsanfang: $n=0$ Es gilt $$\sum_{k=0}^{0}a_k=a_0=(0+1)(a_0+d\tfrac{0}{2}).$$ Induktionsbehauptung: Für alle $n$ gelte $$\sum_{k=0}^{n}a_k=(n+1)(a_0+d\tfrac{n}{2}).$$ Induktionsschritt $n \to n+1$: \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}a_k &=& \sum_{k=0}^{n}a_k+a_{n+1}=(n+1)(a_0+d\tfrac{n}{2})+a_{n+1}=(n+1)(a_0+d\tfrac{n}{2})+a_0+(n+1)d\\ &=&na_0+\frac{dn^2}{2}+a_0+d\tfrac{n}{2}+a_0+dn+d=na_0+\frac{dn^2}{2}+d\tfrac{n}{2}+2a_0+dn+d\\ &=&na_0+\frac{dn(n+1)}{2}+2a_0+d(n+1)=(n+2)(a_0+\frac{d(n+1)}{2}) \end{eqnarray*} $\Box$