Lösung für Aufgabe 2.5.8
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Bernoullische Ungleichung $$ (1+x)^n \ge 1+ n x, \quad \text {für $x \ge -1$ und $n \in \mathbb N$.} $$Induktionsanfang: $n=0$ $$1 \geq 1.$$ Induktionsbehauptung: Für $x \geq -1$ und alle $n \in \mathbb{N}$ gelte $$(1+x)^n \geq 1+nx.$$ Induktionsschritt $n \to n+1$: $$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot(1+x) \geq (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^2 \geq 1+nx+x=1+(n+1)x$$ $\Box$