Lösung für Aufgabe 2.5.3
Beweisen Sie die Summenformel für die geometrische Reihe, d.h. für beliebiges reelles $q$ und $n$ in $\N$ zeigen Sie $$ \sum_{k=0}^{n}q^{k} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}. $$Induktionsanfang: $n=0$ Es gilt $$\sum_{k=0}^{0}q^k=q^0=1 = \frac{1-q}{1-q}.$$ Induktionsbehauptung: Für alle $n$ gelte $$\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$ Induktionsschritt $n\to n+1$: $$\sum_{k=0}^{n+1}\,q^k = \sum_{k=0}^{n}q^k+q^{n+1} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}.$$ $\Box$