Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 4.3
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 4.3 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 4.3.3 (Lösung)
Wandeln Sie die Funktionsdarstellung der angegebenen Funktionen in die jeweils andere Form um ($x\mapsto\ldots$ bzw.\ $f(x)=\ldots$).- $g:\R\to\R$ mit $g(x)=7x^{2}+3x+4$,
- $h:\R^{2}\to\R$ mit $h(x,y)=xy-e^{3xz}$,
- $f:\N\to\N$ mit $a\mapsto 2a^{2}$,
- $k:\Q\to\Q$ mit $s\mapsto 3as^{4}t$.
Aufgabe 4.3.7 (Lösung)
Bestimmen Sie den Graphen der Funktion $f:\{0,1,\ldots,n\}\to\N$ mit $f(k)=k^{3}+1$.Aufgabe 4.3.8 (Lösung)
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f:[-3,3]\to\R$ mit $f(x)=x^3$ als Teilmenge des $\R^{2}$.Aufgabe 4.3.14 (Lösung)
Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen $f_i:\R\to\R$ und die Mengen $A_i$, $B_i$ $(i=1,2,3)$ die Bildmengen $f_i(A_i)$ sowie die Urbildmengen $f_i^{-1}(B_i)$:- $f_1(x)=x+3$, $A_1=\{1,2,5\}$, $B_1={]}-1,3{[}$,
- $f_2(x)=x^2-1$, $A_2={]}-1,1{[}$, $B_2=\{-1,0\}$,
- $f_3(x)=a$ ($a\in\R$ eine Konstante), $A_3=\{0\}\cup{]}1,2{[}$, $B_3=\{a\}$.
Aufgabe 4.3.16 (Lösung)
Sei $f:A\to B$ eine Funktion, und seien $A_1,A_2\subseteq A$ und $B_1,B_2\subseteq B$. Zeigen Sie die Behauptungen:- $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$,
- $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$,
- $f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)$,
- $f(A_1\setminus A_2)\supseteq f(A_1)\setminus f(A_2)$.
Hinweis: Gehen Sie analog zu Beispiel 4.3.15 vor. Zur Widerlegung der Gleichheit in 2 und 4 genügt es, eine Menge $A$ mit zwei Elementen und $B$ mit einem Element heranzuziehen und $f$ entsprechend zu definieren.
Aufgabe 4.3.19 (Lösung)
Sind die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv bzw. bijektiv? Begründen Sie Ihre Antwort.- $f_1: \N\to\N$, $n\mapsto n^2$,
- $f_2: \Z\to\Z$, $n\mapsto n^2$,
- $f_3: \R\to\R^+_0$, $x\mapsto x^2+1$,
- $f_4: \R\to\R$, $f_4(x)=4x+1$,
- $f_5: \R\to[-1,1]$, $x\mapsto \sin x$.
Aufgabe 4.3.20
Sei $f:A\to B$ eine Funktion, und seien $A_1,A_2\subseteq A$. Zeigen Sie, dass für injektives $f$ in Aussage 2 und 4 aus Aufgabe 4.3.16 die Gleichheit gilt, also, dass für injektives $f$ gilt:- $f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2)$,
- $f(A_1\setminus A_2)= f(A_1)\setminus f(A_2)$.
Aufgabe 4.3.21
Sei $f:A\to B$ eine Funktion, und sei $A_1\subseteq A$.- Zeigen Sie dass die Mengen $f(\complement A_1)$ und $\complement f(A_1)$ unvergleichbar sind, dass also im allgemeinen weder $f(\complement A_1)\subseteq \complement f(A_1)$ noch $\complement f(A_1)\subseteq f(\complement A_1)$ gilt.
- Zeigen Sie, dass für injektives $f$ das Bild des Komplements im Komplement des Bildes enthalten ist, also $f(\complement A_1)\subseteq \complement f(A_1)$ gilt.
- Zeigen Sie, dass für surjektives $f$ das Komplement des Bildes im Bild des Komplements liegt.
- Wie steht es um die analoge Problemstellung für Urbilder: Wie verhält sich das Komplement des Urbilds einer Menge zum Urbild des Komplements?
Aufgabe 4.3.22
Fertigen Sie eine Tabelle an, in der Sie die Ergebnisse der vorangegangenen Beispiele und Aufgaben zur Verträglichkeit von Bild und Urbild mit den Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt, Mengendifferenz und Komplementbildung zusammenfassen.Aufgabe 4.3.30 (Lösung)
Wir betrachten die Abbildungen $f:\{a,b\}\to\{1,2,3\}$ mit $f:a\mapsto 1$ und $f:b\mapsto 3$ und $g:\{1,2,3\}\to\{A,B,C,D\}$ mit $g:1\mapsto C$, $g:2\mapsto D$ und $g:3\mapsto B$. Bestimmen Sie die Verknüpfung $g\o f$.Aufgabe 4.3.31 (Lösung)
Bestimmen Sie die Zusammensetzungen $f\o g$ und $g\o f$ für die jeweils angegebenen Funktionen:- $f,g:\R\to\R$ mit $f(x)=\sin(x)$ und $g(x)=x^{2}$,
- $f,g:\Q\to\Q$ mit $f(q)=\tfrac{q}{3}$ und $g(q)=q^{2}-1$,
- $f,g:\N\to\N$ mit $f:n\mapsto 3^{n}$ und $g(n)=n^{3}$.
Aufgabe 4.3.32 (Lösung)
- Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$, die beide nicht bijektiv sind, sodass die Zusammensetzung $f\circ g$ bijektiv ist?
- Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$, die beide nicht injektiv sind, sodass die Zusammensetzung $f\circ g$ injektiv ist?
Aufgabe 4.3.33 (Lösung)
Zeigen Sie, dass die Verknüpfung von Abbildungen das Assoziativgesetz erfüllt.Aufgabe 4.3.37 (Lösung)
Es sei die Abbildung $f:\{a,b,c\}\to\{1,2,3\}$ gegeben durch $f:a\mapsto 2$, $f:b\mapsto 3$ und $f:c\mapsto 1$. Bestimmen Sie die Umkehrabbildung $f^{-1}$ von $f$.Aufgabe 4.3.38 (Lösung)
Zeigen Sie, dass die Abbildung $$ f:\{1,2,3\}\x\{1,2,3\}\to\{0,\ldots,8\},\quad (n,m)\mapsto 3(n-1)+m-1 $$ bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrabbildung $f^{-1}$.Aufgabe 4.3.41 (Lösung)
In welchen Intervallen sind die folgenden Funktionen $f:\R\to\R$ monoton wachsend bzw. fallend?- $f(x)=x^{2}$,
- $f(x)=0$,
- $f(x)=4x^{3}+3x^{2}-x+4$,
- $f(x)=\cos(x)$,
- $f(x)=\tan(x)$.