Lösung für Aufgabe 4.3.16
Sei $f:A\to B$ eine Funktion, und seien $A_1,A_2\subseteq A$ und $B_1,B_2\subseteq B$. Zeigen Sie die Behauptungen:- $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$,
- $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$,
- $f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)$,
- $f(A_1\setminus A_2)\supseteq f(A_1)\setminus f(A_2)$.
Hinweis: Gehen Sie analog zu Beispiel 4.3.15 vor. Zur Widerlegung der Gleichheit in 2 und 4 genügt es, eine Menge $A$ mit zwei Elementen und $B$ mit einem Element heranzuziehen und $f$ entsprechend zu definieren.
- Sei $x\in f^{-1}(B_1\cap B_2)$. Dann gilt $f(x)\in B_1\cap B_2$. Das ist äquivalent zu $f(x)\in B_1$ und $f(x)\in B_2$. Dies gilt genau dann, wenn gilt $x\in f^{-1}(B_1)$ und $x\in f^{-1}(B_2)$, was wiederum äquivalent ist zu $x\in f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$.
- Sei $x\in f(A_1\cap A_2)$. Dann gibt es $a\in A_1\cap A_2$ mit $f(a)=x$. Weil $a\in A_1$, gilt $x\in f(A_1)$, und wegen $a\in A_2$ gilt $x\in f(A_2)$. Somit folgt $x\in f(A_1)\cap f(A_2)$.
- Sei $x\in f^{-1}(B_1\setminus B_2)$. Das ist äquivalent zu $f(x)\in B_1\setminus B_2$, was genau denn gilt, wenn $f(x)\in B_1$ und $f(x)\notin B_2$ gelten. Dies wiederum ist äquivalent zu $x\in f^{-1}(B_1)$ und $x\notin f^{-1}(B_2)$, was genau dann gilt, wenn $x\in f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)$.
- Sei $x\in f(A_1)\setminus f(A_2)$. Dann ist $x\in f(A_1)$ und $x\notin f(A_2)$. Es existiert daher ein $a\in A_1$ mit $f(a)=x$, und es gibt kein $b\in A_2$ mit $f(b)=x$. Aus diesem Grund gilt $a\notin A_2$. Aus dieser Tatsache können wir folgern, dass $a\in A_1\setminus A_2$ und daher $x\in f(A_1\setminus A_2)$ gilt.