Lösung für Aufgabe 4.3.38
Zeigen Sie, dass die Abbildung $$ f:\{1,2,3\}\x\{1,2,3\}\to\{0,\ldots,8\},\quad (n,m)\mapsto 3(n-1)+m-1 $$ bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrabbildung $f^{-1}$.Wir können etwa alle Zuordnungen angeben: $(1,1)\mapsto 0$, $(1,2)\mapsto 1$, $(1,3)\mapsto 2$, $(2,1)\mapsto 3$, $(2,2)\mapsto 4$, $(2,3)\mapsto 5$, $(3,1)\mapsto 6$, $(3,2)\mapsto 7$ und $(3,3)\mapsto 8$. Die Umkehrabbildung $f^{-1}:\{0,\ldots,8\}\to\{1,2,3\}\x\{1,2,3\}$ könnte man etwa durch "Umdrehen der Pfeile" oben beschreiben. Eine Formel ist etwa $f^{-1}:k\mapsto (\lfloor \tfrac k3 \rfloor+1,k+1-3\lfloor \tfrac k3 \rfloor)$ (Hier bezeichnet $\lfloor x\rfloor$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist).