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Lösung für Aufgabe 4.3.19
Sind die folgenden Abbildungen injektiv, surjektiv bzw. bijektiv?
Begründen Sie Ihre Antwort.
- $f_1: \N\to\N$, $n\mapsto n^2$,
- $f_2: \Z\to\Z$, $n\mapsto n^2$,
- $f_3: \R\to\R^+_0$, $x\mapsto x^2+1$,
- $f_4: \R\to\R$, $f_4(x)=4x+1$,
- $f_5: \R\to[-1,1]$, $x\mapsto \sin x$.
- injektiv, weil die Quadrate nichtnegativer Zahlen verschieden sind;
nicht surjektiv, weil $2$ nicht das Quadrat einer natürlichen Zahl ist.
- nicht injektiv, weil $f_2(-1)=f_2(1)=1$. Nicht surjektiv (wie in 1.).
- nicht injektiv, weil $f_3(-1)=f_3(1)=2$. Nicht surjektiv, weil $0$ nicht
im Bild von $f_3$ liegt.
- bijektiv. Die Umkehrabbildung ist $f_4^{-1}:\R\to\R$,
$x\mapsto \tfrac14(x-1)$.
- nicht injektiv, weil $f_5(0)=f_5(2\pi)=0$. Surjektiv, weil der Sinus
auf $\R$ alle Werte zwischen $-1$ und $1$ annimmt.
