18.2.1 Definition. Unbestimmte Integral.
Es sei
Riemann-integrierbar und
. Nach dem Lebesgue'schen
Integrabilitätskriterium (18.1.4) existiert dann für jedes
auch
.
Diese Abbildung
heißt (ein) unbestimmtes Integral von
.
18.2.2 Hauptsatz der Differential und
Integralrechnung.
Das unbestimmte Integral
jeder Riemann-integrierbaren Funktion
ist stetig.
Ist der Integrand
stetig bei
, so ist
differenzierbar bei
mit
Ableitung
.
Umgekehrt sei
stetig differenzierbar mit Ableitung
. Dann ist
Riemann-integrierbar und
.
Jede Funktion
Beweis. Es ist
Ist
zusätzlich stetig bei
, so existiert zu
ein
s.d.
für alle
mit
und damit ist
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Ist
also stetig, so ist
eine Stammfunktion von
.
Sei nun
stetig differenzierbar mit Ableitung
.
Somit ist
eine Stammfunktion von
und nach dem 1. Teil
ist das unbestimmte Integral
ebenfalls eine Stammfunktion,
also ist die Ableitung von
gleich 0 und damit nach dem Spezialfall des
Mittelwertsatzes
(17.1.4)
konstant, also
.
[]
Bemerkung.
Der Hauptsatz besagt also, daß Integrieren und Differenzieren im wesentlichen,
d.h. bis auf Addition einer Konstanten, invers zueinander sind.
Genauer: Es ist Differenzieren
auf der Menge der
differenzierbaren Funktionen
nicht injektiv, denn
ist konstant.
Jedoch ist Differenzieren
auf der Menge
der stetig
differenzierbaren Funktionen
surjektiv als Abbildung in die Menge
der stetigen Abbildungen
, denn zu jedem
definiert
eine Stammfunktion.
Somit definiert dieses unbestimmte Integral eine rechtsinverse Abbildung
zum Differenzieren
, für
die weiters gilt:
ist eine konstante Abbildung.
Wenn wir
auf den Teilvektorraum
einschränkten, dann sind Differenzieren
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und (unbestimmt) Integrieren
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18.2.3 Beispiele von Stammfunktionen.
Wir können Formeln die wir für das Differenzieren erhalten haben
als Formeln für (unbestimmte) Integrale interpretieren:
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oder auch ![]() |
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||
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18.2.4 Definition. Logarithmus.
Wir können nun eine direkte exakte Definition des Logarithmus geben (vgl. mit
(17.3.5.3)):
Es sei der natürliche Logarithmus definiert durch
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Nach den Sätzen (16.4.4) und (17.3.4)
über inverse Funktionen existiert somit die differenzierbare
Umkehrfunktion
(die Exponentialfunktion)
mit
(vgl. mit (17.3.5.3))
Weiters folgt aus den Aussagen für
, daß
und
.
Es ist
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18.2.5 Definition. Allgemeine Potenz und Logarithums.
Sei nun
. Dann setzen wir
Und für
heißt die Umkehrfunktion zu
der Logarithmus
zur Basis
.
Diese Definition von
stimmt für
mit der in
Mathematik 1 gegebenen Definition
überein, denn
18.2.6 Definition. Hyperbolische Winkelfunktionen.
Es sei
eine Funktion. Dann ist
eine gerade und
eine ungerade
Funktion mit
.
Wenden wir dies insbesonders auf die Funktione
an, so erhalten wir
den Sinushyperbolicus
,
und den Cosinushyperbolicus
. In Analogie zu den üblichen Winkelfunktionen
definieren wir den Tangenshyperbolicus als
.
Man kann leicht folgende Aussagen beweisen:
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||
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18.2.7 Bemerkung. Integration rationaler Funktionen.
Folgende rationale Ausdrücke können wir integrieren:
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Sei nun
eine Nullstelle von
.
Dann können wir
durch
so oft wie möglich dividieren
und erhalten
für eine natürliche Zahl
und ein Polynom
mit
.
Somit ist
.
Folglich betrachten wir
18.2.8 Proposition. Partialbruchzerlegung im
Komplexen.
Es seien
und
Polynome mit komplexen Koeffizienten und mit
.
Weiters seien
die verschiedenen Nullstellen von
und
ihre Vielfachheit.
Dann ist
Wir können nun die Partialbruchzerlegung verwenden um rationale Funktionen zu integrieren.
18.2.9 Beispiel des Integrals einer rationalen Funktion.
Es sei die rationale Funktion
gegeben.
Division mit Rest liefert:
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18.2.10 Proposition. Partialbruchzerlegung im
Reellen.
Es seien
und
Polynome mit reellen Koeffizienten und mit
.
Weiters seien
die verschiedenen reellen Nullstellen von
und
ihre Vielfachheit.
Seien schließlich
die echt komplexen
verschiedenen Nullstellen von
und
ihre Vielfachheit.
Dann ist
Beweis. Für jede komplexe Nullstelle
Somit ist
und
wegen (18.2.8)
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Beachte, daß eine Stammfunktion von
wie
folgt mittels Substitutionen
und
bestimmt werden kann:
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Andreas Kriegl 2002-07-01