18.1 Riemann-Integral

18.1.1 Definition. Integral.
Es sei $f:\mathbb{R}\supseteq I\to \mathbb{R}$ eine beschränkte Abbildung auf einem kompakten Intervall $I$. Es sei $Z=\{I_1,\dots,I_N\}$ eine endliche Zerlegung von $I=[a,b]$ in Teilintervalle $I_1,\dots,I_N$. Als Obersumme von $f$ bzgl. der Zerlegung $Z$ bezeichnet man

$$O(f,Z):=\sum_{i=1}^N \vert I_i\vert \sup(f(I_i)) =\sum_{J\in Z}\vert J\vert \sup(f(J))$$

und als Untersumme

$$U(f, Z):=\sum_{i=1}^N \vert I_i\vert \inf(f(I_i)) =\sum_{J\in Z}\vert J\vert \inf(f(J)),$$

wobei $\vert J\vert$ die Länge des Intervalls $J$ bezeichnet.

Weiters sei

$$O(f) := \inf\{O(f, Z): Z I\}$$

$$U(f) := \sup\{U(f, Z): Z I\}$$

Offensichtlich gilt $U(f)\leq O(f)$. Die Abbildung $f$ heißt nun Riemann-integrierbar, falls $O(f)=U(f)$, d.h.

$$\forall\varepsilon >0 \exists Z_1, Z_2: O(f, Z_1)<U(f, Z_2)+\varepsilon ,$$

und man schreibt

$$\int_If = \int_a^b f=\int_a^b f(x) dx$$

für diesen Wert, und nennt dies das Riemann-Integral der Abbildung $f$ von $a$ bis $b$.

18.1.2 Lemma. Vieles ist integrierbar.
Jede monotone Funktion und jede stetige Funktion ist Riemann-integrierbar.

Man sieht leicht ein, daß monotone Funktionen nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen besitzen können, und davon höchsten abzählbar viele vorhanden sein können.

Beweis. (1) O.B.d.A. sei $f$ monoton wachsend. Weiters sei eine Zerlegung $Z$ von $[a,b]$ durch $a=t_0<t_1<\dots<t_N=b$ gegeben mit $t_i:=a+i\frac{b-a}{N}$, also $Z=\{I_1,\dots,I_N\}$ mit $I_i:=[t_{i-1},t_i]$. Dann ist $\sup f(I_i)=f(t_i)$ und $\inf f(I_i)=f(t_{i-1})$ also ist $O(f, Z)-U(f, Z)=\sum_{i=1}^N (f(t_i)-f(t_{i-1})) \frac{b-a}{N} =(f(b)-f(a)) \frac{b-a}{N}\to 0$ für $N\to{\infty}$.

(2) Sei nun $f$ stetig, dann ist $f$ gleichmäßig stetig nach (16.3.5), also existiert zu $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ mit $\vert f(x)-f(y)\vert\leq\varepsilon$ für $\vert x-y\vert\leq \delta$. Sei nun $Z$ eine äquidistante Zerlegung wie zuvor mit Schrittweite $\vert t_i-t_{i-1}\vert\leq \delta$. Für $J\in Z$ ist dann $\sup f(J)-\inf f(J)=\sup\{f(x)-f(y):x,y\in J\}\leq\varepsilon$ und somit $O(f, Z)-U(f, Z)\leq\sum_{j=1}^N \varepsilon \vert J_j\vert=\varepsilon (b-a)$. Also gilt $O(f)=U(f)$.     []

18.1.3 Beispiele integrierbarer Funktionen.

1. Für konstante Funktionen $f:x\mapsto c$ ist $U(f, Z)=(b-a) c=O(f, Z)$ und somit $\int_a^b f(x) dx=(a-b) c$. Beachte, daß für $c<0$ das Integral $\int_a^b c dx<0$ ist, also die so berechnete Fläche mit einem Vorzeichen versehen ist (welches die Orientierung der Fläche kodiert).
2. Für lineare Funktionen $f:x\mapsto c x$ mit $c>0$ und $Z$ gegeben durch $a=t_0<\dots<t_n=b$ ist

   $$U(f, Z) =\sum_{j=1}^n (t_j-t_{j-1}) c t_{j-1}$$

   $$U(f, Z) =\sum_{j=1}^n (t_j-t_{j-1}) c t_{j}$$

   
   
   und somit

   $$\frac12\Bigl(U(f, Z)+O(f, Z)\Bigr) =\frac12 \sum_{j=1}^n (t_j-t_{j-1}) c (t_{j}+t_{j-1}) =\frac{c}{2} \sum_{j=1}^n (t_j^2-t_{j-1}^2)$$

   $$= \frac{c}{2} (b^2-a^2) =\frac{c}2 (a+b) (b-a)$$

   
   
   

   Dies ist $\int_a^b f(x) dx$, denn $U(f, Z)-O(f, Z)<\varepsilon$, wenn $Z$ äquidistant mit hinreichend kleiner Schrittweite wie im Beweis von (18.1.2) gewählt wird.

Ein Kriterium für die Integrierbarkeit ist folgender Satz, den wir ohne Beweis angeben.

18.1.4 Lebesgue'sches Integrabilitätskriterium.
Eine beschränkte Funktion ist genau dann Riemann-integrierbar wenn die Menge der Punkte $x$ in denen sie unstetig ist eine Lebesgue-Nullmenge ist.

Dabei heißt eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb{R}$ Lebesgue-Nullmenge, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ abzählbar viele Intervalle $(I_i)_{i\in\mathbb{N}}$ existieren, s.d. $M\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}}I_i$ und $\sum_{i=0}^{\infty}\vert I_i\vert<\varepsilon$ ist.

Z.B. ist jede abzählbare Menge eine Nullmenge, denn sei $M=\{t_i:i\in\mathbb{N}\}$ und $I_i:=[t_i-\frac\varepsilon {2^i},t_i+\frac\varepsilon {2^i}]$. Dann ist $M\subseteq \bigcup_{i\in\mathbb{N}}I_i$ und $\sum_{i\in \mathbb{N}}\vert I_i\vert= \sum_{i=0}^{\infty}\frac{\varepsilon }{2^{i-1}}=4\varepsilon$.

18.1.5 Beispiel nicht integrierbarer Funktionen.
Die Dirichlet'sche Sprungfunktion $\chi _\mathbb{Q}$ ist überall unstetig, also auf $[0,1]$ nicht integrierbar.

Hingegen ist die Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ welche gegeben ist durch

$$f:x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} \frac1q&\t... ...teilerfreien $p$ und $q$} \\ 0 &\text{andernfalls,} \end{array}\right.$$

Riemann-integrierbar über $[0,1]$, denn sie ist nur in den rationalen Punkten unstetig. Es ist leicht einzusehen, daß $\int_0^1 f(x) dx=0$ ist.

18.1.6 Lemma. Integrieren ist linear.
Die Riemann-integrierbaren Funktionen auf einen Intervall $I$ bilden einen Vektorraum $R(I,\mathbb{R})$. Integrieren $\int_I:R(I,\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ ist linear, d.h. $\int_I (f+\lambda g)=\int_I f+\lambda \int_I g$ für $\lambda \in\mathbb{R}$ und Riemann-integrierbare Funktionen $f,g:I\to\mathbb{R}$.

Insbesonders bedeutet dies, daß wir die (orientierte) Fläche $A$ zwischen zwei Funktionen $f$ und $g$ über einen Intervall $I$ wie folgt berechnen können:

$$A=\int_I f - \int_I g=\int_I (f-g).$$

Beweis. Es ist $\sup f(J)+\sup g(J)\geq \sup(f+g)(J)\geq \inf (f+g)(J)\geq \inf f(J)+\inf g(J)$, also $O(f, Z)+O(g, Z)\geq O(f+g, Z)\geq U(f+g, Z)\geq U(f, Z)+U(g, Z)$ und somit ist $U(f+g)=O(f+g)$ falls $f$ und $g$ integrierbar sind.     []

18.1.7 Lemma. Operationen für integrierbare Funktionen.
Produkte und beschränkte Quotienten Riemann-integrierbarer Funktionen sind Riemann-integrierbar. Ebenso ist Absolutbetrag Riemann-integrierbarer Funktionen ist Riemann-integrierbar.

Beachte jedoch, daß dies keine Formel zur Berechnung des Integrals eines Produktes aus jenen der Teile liefert.

Beweis. All dies folgt leicht aus dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium (18.1.4).     []

18.1.8 Lemma. Additivität des Integrals bzgl. der Grenzen.
Integrieren ist additiv in den Grenzen, d.h. $\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$.

Diese Gleichung gilt vorerst nur für $a\leq b\leq c$. Damit sie auch für beliebige $a,b,c$ gilt, muß für $a\leq b$ $0=\int_a^a f=\int_a^b f+\int_b^a f$ erfüllt sein, d.h. wir definieren

$$\int_b^a f:= - \int_a^b f$$ für $$b\geq a.$$

Beweis. Es seien $Z_-$ und $Z_+$ Zerlegungen der Intervalle $[a,b]$ und $[b,c]$. Dann ist $Z:= Z_-\cup Z_+$ eine Zerlegung von $[a,c]$ und somit $U(f, Z_-)+U(f, Z_+)=U(f, Z)\leq O(f, Z) =O(f, Z_-)+O(f, Z_+)$ also $O(f\vert _{[a,b]})+O(f\vert _{[b,c]})\geq O(f)\geq U(f)\geq U(f_{[a,b]})+U(f\vert _{[b,c]})$.     []

18.1.9 Lemma. Monotonie des Integrals.
Integrieren $\int_I:R(I,\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ ist monoton, d.h. aus $f\geq g$ (soll heißen $f(x)\ge g(x)$ für alle $x\in I$) folgt $\int_I f\geq \int_I g$.

Insbesonders ist $\pm f\leq \vert f\vert$ und somit $\pm\int_I f=\int_I (\pm f)\leq \int_I \vert f\vert$, also

$$\Bigl\vert\int_I f\Bigr\vert\leq \int_I \vert f\vert.$$

Beweis. Aus $f\leq g$ folgt $U(f, Z)\leq U(g, Z)$ und $O(f, Z)\leq O(g, Z)$ und somit $O(f)=U(f)\leq O(g)=U(g)$.     []

18.1.10 Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Es sei $m\leq f(x)\leq M$ für alle $x\in[a,b]$ und $f$ integrierbar. Dann ist $m (b-a)\leq \int_a^b f\leq M (b-a)$.
Ist $f$ sogar stetig, dann existiert ein $\xi \in[a,b]$ mit $\int_a^b f=f(\xi ) (b-a)$.

Beweis. Dies folgt aus (18.1.9), da $\int_a^b m=(b-a) m$.

Für stetiges $f$ liefert der Zwischenwertsatz die Existenz eines $\xi \in[a,b]$ mit $f(\xi )=\frac{1}{b-a}\int_a^b f$, da die rechte Seite zwischen $m=\inf(f)$ und $M:=\sup(f)$ liegt.     []