16.3.1 Definition. Gleichmäßige Stetigkeit.
Eine Abbildung
zwischen metrischen Räumen heißt gleichmäßig stetig, wenn
das
in der Definition der Stetigkeit unabhängig von
gewählt werden kann, d.h.
16.3.2 Beispiele (nicht) gleichmäßig stetiger Funktionen.
Nach obigen Beweis in (16.1.8) ist Sinus und damit auch Cosinus gleichmäßig
stetig auf
.
Ebenso sind lineare Abbildungen
gleichmäßig stetig, denn für sie gilt
, wobei
ist.
Direkter folgt dies aus
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|
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||
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Hingegen sind nicht-lineare Polynome nicht gleichmäßig stetig auf
.
Z.B. ist
nicht gleichmäßig stetig, denn andernfalls gäbe es ein
, s.d.
zumindest
zur Folge hätte.
Wir setzen
und
, dann ist
.
Die Funktion
ist ebenfalls nicht gleichmäßig
stetig auf
:
16.3.3 Definition. Kompakt.
Ein metrischer Raum
heißt kompakt oder auch Kompaktum, wenn
jede Folge
einen Häufungspunkt
besitzt.
16.3.4 Proposition.
Eine Teilmenge von
ist genau dann kompakt, wenn sie
beschränkt und abgeschlossen ist.
Dabei heißt eine Menge
Beweis. (
(
)
Falls
unbeschränkt ist, so existieren
mit
. Diese Folge
kann dann keinen Häufungspunkt besitzen, ein Widerspruch.
Falls
nicht abgeschlossen ist, so existieren
mit
. Wegen Kompaktheit existiert ein Häufungspunkt in
von
. Für diesen kommt aber nur
in Frage.
[]
16.3.5 Proposition. Gleichmäßige Stetigkeit auf Kompakta.
Es sei
stetig und
kompakt.
Dann ist
auf
gleichmäßig stetig.
Beweis. Andernfalls gäbe es ein
16.3.6 Proposition. Existenz von Maxima.
Sei
stetig und
kompakt.
Dann existiert
.
Beweis. Es ist auch
Andreas Kriegl 2002-07-01