16.1 Stetigkeit

16.1.1 Bemerkung. Mehrdimensionale Abbildungen.
Wir wollen nun vor allem Abbildungen $f:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^q$ studieren. Im Falle $p=q=1$ sind das die Funktionen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, die wir aus der Schule kennen. Man nennt die dadurch beschriebenen Teilmenge $\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}$ auch Kurve in $\mathbb{R}^2$.

Den Einheitskreis $\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ können wir nur mittels zwei Funktionen $x\mapsto \pm\sqrt{1-x^2}$, $[-1,1]\to\mathbb{R}$ beschreiben. Natürlicher ist allerdings die Parameterdarstellung $\mathbb{R}\ni t\mapsto (\cos(t),\sin(t))\in\mathbb{R}^2$. Dies führt zu folgendem:

Falls $p=1$ aber $q>1$ ist, so können wir $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^q$ als parametrisierte Kurve im $\mathbb{R}^q$ bezeichnen. Im Unterschied zu vorigen Fall ist also vorgegeben wie schnell die Kurve $\{f(t):t\in\mathbb{R}\}$ durchlaufen wird. Da $f(t)\in\mathbb{R}^q$ liegt, können wir diesen Vektor in seine Koordinaten zerlegen, d.h. $f(t)=(f_1(t),\dots,f_q(t))$, wobei $f_1,\dots,f_q$ Funktionen $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sind. Wir schreiben kurz $f=(f_1,\dots,f_q)$, und nennen $f_1,\dots,f_q$ die Komponenten von $f$.

Umkehrt können wir eine Abbildung $f:\mathbb{R}^p\to \mathbb{R}$ als Art Gebirge über $\mathbb{R}^p$ auffassen. Im Falle $p=2$ spricht man von einer Fläche in $\mathbb{R}^3=\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}$.

16.1.2 Definition. Stetigkeit.
Eine Abbildung $f:X\to Y$ zwischen metrischen Räumen heißt stetig bei $x_0\in X$, wenn

$$\forall\varepsilon >0\exists\delta >0\forall x\in X:d(x,x_0)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(x_0))<\varepsilon ,$$

d.h. zu jeden $\varepsilon$-Ball um den Bildpunkt $f(x_0)$ ein $\delta$-Ball um $x_0$ existiert, der durch $f$ ganz in den $\varepsilon$-Ball abgebildet wird, oder äquivalent der ganz im Urbild des $\varepsilon$-Balls unter $f$ enthalten ist, symbolisch:

$$\forall\varepsilon >0\exists\delta >0: f\Bigl(U_{\delta }(x_0)\Bigr)\subseteq U_{\varepsilon }\Bigl(f(x_0)\Bigr)$$

$$\forall\varepsilon >0\exists\delta >0: U_{\delta }(x_0)\subseteq f^{-1}\Bigl(U_{\varepsilon }\bigl(f(x_0)\bigr)\Bigr)$$

Die Idee dahinter ist, daß man mittels $\delta$ die Argumente so gut kontrollieren, daß sich die Werte nicht viel vom Bildpunkt entfernen. Graphisch bedeutet dies, daß wir einen beliebig schmalen horizontalen Streifen oder Schlauch um $f(x_0)$ vorgeben können und dann einen Ball $B$ um $x_0$ finden, s.d. $f\vert _B$ ganz im horizontalen Schlauch zu liegen kommt.

Die Negation von stetig heißt unstetig.

Eine Abbildung $f:X\to Y$ heißt stetig (auf $X$), wenn sie in jedem Punkt $x_0\in X$ stetig ist.

Stetigkeit läßt sich nun mittels der zuvor behandelten Konvergenz von Folgen beschreiben:

16.1.3 Lemma. Stetigkeit via Folgen.
Eine Abbildung $f$ ist genau dann stetig bei $x_{\infty}$, wenn für jede gegen $x_{\infty}$ konvergente Folge $x_n$ die Folge der Bilder $f(x_n)$ gegen $f(x_{\infty})$ konvergiert.

Also ist $f(\lim_n x_n)=\lim_n f(x_n)$ für stetiges $f$ falls die linke Seite existiert. Die stetigen Abbildungen sind somit gerade die Konvergenz-erhaltenden Abbildungen, so wie die linearen Abbildungen die Vektorraumoperationen-erhaltenden Abbildungen sind.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Sei $f$ stetig bei $x_{\infty}$ und $x_n\to x_{\infty}$. Für $\varepsilon >0$ existiert also ein $\delta >0$ mit $\vert x-x_{\infty}\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(x_{\infty})\vert<\varepsilon$. Wegen der Konvergenz von $(x_n)$ existiert ein $N$ mit $\vert x_n-x_{\infty}\vert<\delta$ für alle $n\geq N$ und somit $\vert f(x_n)-f(x_{\infty})\vert<\varepsilon$. Also konvergiert $f(x_n)$ gegen $f(x_{\infty})$.

( $\Leftarrow$) Umgekehrt, sei indirekt angenommen, daß $f$ nicht stetig bei $x_{\infty}$ ist. Dann existiert ein $\varepsilon >0$, sodaß für jedes $\delta >0$ ein $x_\delta$ existiert mit $\vert x_\delta -x_{\infty}\vert<\delta$ aber $\vert f(x_\delta )-f(x_{\infty})\vert\geq \varepsilon$. Die Folge $k\mapsto x_{1/k}=:y_k$ konvergiert somit gegen $x_{\infty}$ aber $\vert f(y_k)-f(x_{\infty})\vert\geq\varepsilon$.     []

16.1.4 Lemma. Komponentenweise Stetigkeit.
Eine Abbildung $f=(f_1,\dots,f_q):X\to\mathbb{R}^q$ ist genau dann stetig, wenn die Komponenten $f_k:X\to\mathbb{R}$ stetig sind für alle $k$.

Beweis. Da wir Stetigkeit mit konvergenten Folgen testen können folgt dies sofort aus dem entsprechenden Resultat (15.3.4) für Folgen.     []

16.1.5 Lemma. Projektionsfunktionen.
Die durch $\operatorname{pr}_k(x_1,\dots,x_p):=x_k$ gegebenen Projektionsfunktionen $\operatorname{pr}_k:\mathbb{R}^p\to \mathbb{R}$ sind stetig.

Beweis. Die folgt sofort aus $\vert\operatorname{pr}_k(x)-\operatorname{pr}_k(x')\vert=\vert x_k-x'_k\vert\leq \vert x-x'\vert$.     []

16.1.6 Proposition. Rechnen mit stetigen Funktionen.
Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig. Die Summe, Differenz und Produkte stetiger Funktionen sind stetig. Quotienten stetiger Funktionen sind stetig (und dort definiert, wo der Nenner nicht verschwindet).

Beweis. Der 1.Punkt folgt direkt. Die anderen sind eine Konsequenz des entsprechenden Resultats (15.3.6) für Folgen, oder auch der Stetigkeit von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.     []

16.1.7 Folgerung. Polynome sind stetig.
Alle Polynomfunktionen $p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ als auch $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ sind stetig.

Beweis. Polynome erhält man durch Multiplikation und Addition von $x\mapsto x$ und Konstanten $x\mapsto c$.     []

16.1.8 Beispiel. Winkelfunktionen sind stetig.
Wegen dem Additionstheorem ist $\sin(x)-\sin(y)=2\sin(\frac{x-y}2)\cos(\frac{x+y}2)$ (Dies folgt aus

$$\sin(a+b) -\sin(a-b) =$$

$$=\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) -\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$$

$$= 2\cos(a)\sin(b)$$

nun setze $x:=a+b$ und $y:=a-b$ also $a=\frac{x+y}2$, $b=\frac{x-y}2$.) und da $\vert\cos\vert\leq 1$ und $\vert\sin(t)\vert\leq \vert t\vert$ ist, folgt die Stetigkeit von $\sin$.

Wegen $\cos(x)=\sin(\pi/2-x)$ folgt auch die Stetigkeit von $\cos$. Jene von $\tan$ und $\cot$ auf $\mathbb{R}\setminus \{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb{Z}\}$ bzw. $\mathbb{R}\setminus \{k\pi:k\in\mathbb{Z}\}$ ergibt sich damit aus (16.1.6).