Was bedeutet nun, daß eine Folge
nicht konvergiert?
Ein Hinderungsgrund kann sein, daß mehrere Kandidaten für den Grenzwert vorhanden
sind. Um dies präziser zu machen geben wir folgende
15.4.1 Definition. Häufungspunkt.
Ein
heißt Häufungspunkt der Folge
, falls
in jeder
-Umgebung von
unendlich viele Folgeglieder liegen, d.h.
Unter einer Teilfolge
einer Folge
versteht man
, wobei
streng monoton wachsend ist.
D.h.
entsteht aus
durch
Wegstreichen aller bis auf
abzählbar vieler Elemente
,
,...,
,
also
.
15.4.6 Definition. Limes inferior und superior.
Es sei
eine beschränkte Folge in
.
Sei
die Menge ihrer Häufungspunkte.
Statt
schreibt man auch
Man sieht wie folgt, daß
ist:
Sei
und
. Dann ist
keine untere Schranke, also
existiert ein Häufungspunkt
mit
. Für
liegen unendlich viele Folgeglieder in der
-Umgebung um
und somit
auch in der
-Umgebung
von
. Also
ist
ein Häufungspunkt und damit
.
Beachte weiters, daß genau dann
, wenn
ein Häufungspunkt ist, also in jeder
-Umgebung unendlich viele
Folgeglieder liegen, alle
jedoch keine Häufungspunkte sind, d.h. für jede
-Umgebung
fast alle Folgeglieder außerhalb dieser liegen.
Zusammengefaßt liegen also für jedes
unendlich viele Folgeglieder in der
-Umgebung von
,
aber nur endlich viele rechts von
.
15.4.2 Lemma. Häufungspunkte via Teilfolgen.
Ein Punkt
ist genau dann ein Häufungspunkt der Folge
, wenn
eine Teilfolge
existiert, welche gegen
konvergiert.
Beweis. (
(
) Sei
eine Teilfolge von
, welche gegen
konvergiert.
Für jedes
und
existiert somit ein
mit
und
, d.h.
ist ein Häufungspunkt von
.
[]
Ein anderes Hindernis für die Konvergenz einer Folge ist, wenn sie unbeschränkt ist. Andernfalls können wir folgendes Resultat verwenden.
15.4.7 Lemma. Konvergenz via eindeutiger Häufungspunkte.
Eine Folge
ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist
und
gilt, d.h. sie genau einen Häufungspunkt besitzt.
Beweis. (
(
) Sei
und
.
Dann liegen fast alle Folgeglieder
rechts von
, denn andernfalls gäbe es nach Bolzano-Weierstraß einen
(uneigentlichen) Häufungspunkt
. Ebenso liegen fast alle Folgeglieder links von
, denn
andernfalls gäbe es einen (uneigentlichen) Häufungspunkt
.
Dies zeigt die Konvergenz von
gegen
.
[]
15.4.3 Satz von Bolzano & Weierstraß.
Es sei
eine beschränkte Folge in
.
Dann besitzt
einen Häufungspunkt
.
Beweis. Sei vorerst
Sei nun
in
beschränkt. Nach dem eben Gesagten existiert eine
monotone Teilfolge von
und diese ist nach (15.3.10) konvergent, d.h.
besitzt eine Häufungspunkt
nach (15.4.2).
Sei schließlich
in
beschränkt.
Nach obigen existiert eine konvergente Teilfolge
der letzten Koordinate.
Die Folge
besitzt seinerseits nach Induktion
eine konvergente Teilfolge
in
und somit
ist
eine konvergente Teilfolge in
wieder nach
(15.4.2).
[]
Um die Konvergenz einer Folge mittels der Definition nachprüfen zu können, benötigen wir aber schon den Kandidaten für den Grenzwert. Deshalb ist das folgende Kriterium oft sehr hilfreich.
15.4.4 Proposition. Cauchy'sches Konvergenzkriterium.
Eine Folge
in
ist genau dann
konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist, d.h.
Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert.
Beweis. Jede konvergente Folge ist Cauchy, denn aus
Umgekehrt sei
eine Cauchy-Folge. Dann existiert ein
mit
für
und somit ist
beschränkt.
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (15.4.3) existiert eine konvergente Teilfolge
von
mit Grenzwert
. Dies ist aber auch der Grenzwert von
, denn
für
existiert ein
mit
für alle
und somit
für alle
durch Grenzübergang von
für
.
[]
15.4.5 Bemerkung.
Beachte jedoch, daß es für die Konvergenz nicht genügt wenn der Abstand aufeinanderfolgender
Folgeglieder beliebig klein wird. Z.B. ist für die harmonische Folge
der Abstand
aber die Folge
divergiert gegen
.
Andreas Kriegl 2002-07-01