15.5 Unendliche Reihen

15.5.1 Definition. Konvergenz von Reihen.
Unter einer Reihe verstehen wir einen Ausdruck der Form $\sum_k a_k$. Ein Reihe heißt konvergent gegen $s_{\infty}$, wenn die Folge $s_n$ der Partialsummen $s_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ gegen $s_{\infty}$ konvergiert. Man schreibt dann auch $\sum_{k=0}^{\infty}a_k$ für diesen Grenzwert $s_{\infty}$.

15.5.2 Definition. Uneigentliche Konvergenz von Reihen.
Wie für Folgen können wir auch bei Reihen von der uneigentlichen Konvergenz gegen $+{\infty}$ oder $-{\infty}$ sprechen.

15.5.3 Bemerkung. Reihen versus Folgen.
Jede Reihe $\sum_k a_k$ wird also durch die Folge ihrer Partialsummen $s_n:=\sum_{k\leq n}a_k$ beschrieben. Umgekehrt definiert jede Folge $s_n$ eine Reihe $\sum_k a_k$ durch $a_n:=s_n-s_{n-1}$ wobei wir $s_{-1}:=0$ gesetzt haben, deren Partialsummen gerade die gegebene Folge $s_n$ sind.

Reihen $\sum_k a_k$ sind also nur eine andere Schreibweise für Folgen $s_n$, wobei man die Betonung auf den Zuwachs $a_n=s_n-s_{n-1}$ von einem Folgenglied auf das nächste legt.

Beachte, daß es für die Konvergenzbetrachtung keine Rolle spielt, ob wir die Partialsummen als $s_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ oder für ein fixes $K$ als $s_n':=\sum_{k=K}^{K+n}$ definieren, denn $s_{n+K}=s'_n+\Delta$, wobei $\Delta =\sum_{k=0}^{K-1}a_k$. Für die entsprechenden Grenzwerte gilt offensichtlich

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_k =\lim_{n\to{\infty}}s_n=\lim_{m\to{\infty}}s_{m+K}$$

$$=\lim_{m\to{\infty}}s'_m+\Delta =\Delta +\lim_{n\to{\infty}}s'_n=:\Delta +\sum_{k=K}^{\infty}a_k$$

$$=\sum_{k=0}^{K-1}a_k+\sum_{k=K}^{\infty}a_k.$$

15.5.4 Lemma. Geometrische Reihe.
Es konvergiert die geometrische Reihe $\sum_k q^k$ genau dann, wenn $\vert q\vert<1$. Ihr Grenzwert ist $\frac1{1-q}$.

Beweis. Wegen der Summenformel ist $\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ für $q\ne 1$ und somit genau dann konvergent, wenn $\vert q\vert<1$. Im Fall $q=1$ ist $\sum_{k=0}^n q^k=n+1$ divergent.     []

15.5.5 Beispiel. Exponentialreihe und Euler'sche Zahl $e$.
Die Reihe $\sum_k \frac1{k!}$ ist konvergent. Offensichtlich ist die Folge der Partialsummen $s_n:=\sum_{k=0}^n \frac1{k!}$ monoton wachsend. Sie ist aber auch nach oben beschränkt, denn (siehe (15.5.9))

$$s_n\leq 1+\sum_{k=1}^n \frac1{k!}\leq 1 +\sum_{k=1}^n\frac1{2^{k-1}}\leq 1+\frac1{1-1/2}=3.$$

Ihre Summe $\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}=:e$ wir auch Euler'sche Zahl genannt. Man kann zeigen, daß $e=\lim_{n\to{\infty}}(1+\frac1n)^n$:
In der Tat ist $b_n:=(1+\frac1n)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac1{n^k} \leq \sum_{k=0}^n \frac1{k!}=s_n$. Weiters ist $n\mapsto (1+\frac1n)^n$ monoton wachsend, denn $(1+\frac1{n+1})^{n+1}/(1+\frac1n)^n=(\frac{(n+2)n}{(n+1)^2})^n\frac{n+2}{n+1}>1$. Also existiert $\lim_{n\to{\infty}} (1+\frac1n)^n\leq e$.

Weiters ist für $m\geq n$

$$b_m = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k}\frac1{m^k} =\sum_{k=0}^m \prod_{j=1}^{k}(m-j+1)\frac1{k!m^k}$$

$$=\sum_{k=0}^m \frac1{k!} \prod_{j=1}^{k}(1-\frac{j-1}{m}) \geq \sum_{k=0}^n\frac1{k!} \prod_{j=1}^{k}(1-\frac{j-1}{m})=:b_{m,n}$$

mit

$$\lim_{m\to{\infty}}b_{m,n}= \sum_{k=0}^n\frac1{k!} \prod_{j=1}^{k}1=s_n,$$

Also $\lim_m b_m\geq s_n$ für alle $m$ und damit $\lim_{m\to{\infty}}b_m\geq e$ und schlußendlich $\lim_{m\to{\infty}}b_m=e$.

15.5.6 Lemma. Cauchy-Kriterium für Reihen.
Eine Reihe $\sum_k a_k$ konvergiert genau dann, wenn für

$$\forall \varepsilon >0 \exists N\forall n\geq N\forall q: \Bigl\vert\sum_{k=n}^{n+q} a_k\Bigr\vert < \varepsilon$$

Vgl. dies mit (15.4.4) für Folgen.

Beweis. Nach Definition ist $\sum_k a_k$ genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen $s_n:=\sum_{k=0}^n a_k$ konvergiert, oder äquivalent eine Cauchy-Folge ist, d.h.

$$\forall\varepsilon >0\exists N\forall n\geq N\... ...n+{q+1}}-s_n\vert =\Bigl\vert\sum_{k=0}^q a_{n+k}\Bigr\vert{\rm\quad[]}$$

15.5.7 Definition. Absolute Konvergenz.
Eine Reihe $\sum_k a_k$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe $\sum_k \vert a_k\vert$ ihrer absolut-Beträge konvergiert. Da die Partialsummen von $\sum_k \vert a_k\vert$ monoton wachsend ist dies nach der Proposition (15.3.10) über monotone Konvergenz genau dann der Fall, wenn (die Folge der Partialsummen) von $\sum_k \vert a_k\vert$ beschränkt ist.

Beachte, daß der Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz nur im Unterschied zwischen $\left\vert\sum_{k=n}^{n+p} a_k\right\vert$ und $\sum_{k=n}^{n+p} \vert a_k\vert$ liegt.

15.5.8 Lemma.
Es sei $\sum_k a_k$ absolut konvergent. Dann ist $\sum_k a_k$ auch konvergent.

Beweis. Die Cauchy-Bedingung ist wegen $\vert\sum_{k=n}^{n+p}a_k\vert\leq \sum_{k=n}^{n+p}\vert a_k\vert$ erfüllt.     []

Nun können wir die wichtigsten Methoden zur Konvergenzbestimmung von Reihen behandeln.

15.5.9 Proposition. Vergleichskriterium.
Es seien $\sum_k a_k$ und $\sum_k b_k$ zwei Reihen mit $0\leq a_k\leq b_k$ für (fast alle) $k$

$\bullet$

Falls $\sum_k b_k$ absolut konvergiert so auch $\sum_k a_k$.

$\bullet$

Falls $\sum_k a_k$ divergiert, so auch $\sum_k b_k$.

Man sagt in dieser Situation, daß $\sum_k a_k$ eine Minorante von $\sum_k b_k$ und umgekehrt $\sum_k b_k$ eine Majorante von $\sum_k a_k$ ist.

Beweis. Es ist $0<\sum_{k=n}^{n+p} a_k\leq \sum_{k=n}^{n+p}b_k\to 0$.     []

15.5.10 Proposition. Wurzelkriterium.
Falls $(a_n)_n$ beschränkt ist und $\varlimsup_n \root{n}\of{\vert a_n\vert}<1$ ist, d.h. ein $q<1$ existiert mit $\root{n}\of{\vert a_n\vert}\leq q$ für fast alle $n$, so ist $\sum_k a_k$ absolut konvergent.
Ist $\root{n}\of{\vert a_n\vert}\geq 1$ für unendlich viele $n$, so ist die Reihe divergent.

Beweis. Aus $\root{n}\of{\vert a_n\vert}\leq q$ folgt, daß $\sum_k q^k$ eine nach (15.5.4) (konvergente) Majorante von $\sum_k \vert a_k\vert$ ist, also letztere Reihe nach dem Vergleichskriterium (15.5.9) konvergiert.

Ist $\root{n}\of{\vert a_n\vert}\geq 1$ unendlich oft, so konvergiert $a_n$ nicht gegen 0, also ist $\sum_n a_n$ nicht konvergent.     []

15.5.11 Proposition. Quotientenkriterium.
Falls $(a_n)_n$ beschränkt ist und $\varlimsup_n \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert<1$ ist, d.h. ein $q<1$ existiert mit $\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\vert\leq q$ für fast alle $n$, so ist $\sum_k a_k$ absolut konvergent.

Ist jedoch fast immer $\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\vert\geq 1$ so ist die Reihe divergent.

Beweis. Es ist

$$\left\vert\frac{a_{n+p}}{a_{n}}\right\vert =\prod_{j=1}^{p}\left\vert\frac{a_{n+j}}{a_{n+j-1}}\right\vert\leq q^p$$

also $\frac{\vert a_n\vert}{q^n}\sum_k q^k$ eine Majorante für $\sum_k \vert a_k\vert$.

Andererseits folgt aus $\vert a_{n+1}\vert\geq \vert a_n\vert$, daß $a_n$ keine Nullfolge sein kann.     []

15.5.12 Proposition. Leibniz-Kriterium.
Es sei $n\mapsto a_n\geq 0$ monoton fallend. Dann ist $\sum_k (-1)^ka_k$ genau dann konvergent, wenn $\lim_k a_k=0$ ist.

Beweis. Es ist $\sum_k b_k$ nur dann konvergent, wenn $b_k\to 0$.

Umgekehrt erhalten wir

$$(-1)^n \sum_{j=n}^{n+k}(-1)^j a_j = \oversetbrace{\geq 0}\to{(a_{n+1}-a_{n+2})} +\oversetbrace{\geq 0}\to{(a_{n+3}-\dots)}+\dots+(-1)^ka_{n+k}$$

$$= a_{n+1} -\undersetbrace{\geq 0}\to{(a_{n+2}-a_{n+3})}\dots \leq a_{n+1}\to 0. {\rm\quad[]}$$

15.5.13 Beispiele.
In den Anfängen der Analysis hatten die Mathematiker unbekümmert Reihen umgeordnet. Das Beispiel

$$\sum_k (-1)^k=1-1+1-1+\dots=(1-1)+(1-1)+\dots\ne 1+(-1+1)+(-1+1)+\dots$$

zeigt, daß hier Vorsicht angebracht ist.

Ein noch raffinierteres Beispiel ist das folgende: Es sei $s=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+1}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}k$. Dann ist $\frac{s}2=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k}=\sum_{k=1}^{\infty}b_k$, wobei $b_{2k}:=\frac{(-1)^{k-1}}{2k}$ und $b_{2k-1}:=0$ sei. Die Reihe $\sum_k a_k+b_k$ hat also als Summe $s+\frac{s}2=\frac{3s}2$. Diese Reihe ist aber

$$\left(\tfrac{1}1+0\right) +\left(\tfrac{-1}2+\tfrac{1}{2}\right) +\left(\tfrac{1}3+0\right)... ...ht) +\left(\tfrac{1}5+0\right) + \left(\tfrac{-1}6+\tfrac{1}{6}\right) + \dots=$$

$$=1 + 0 + \frac13 + \frac{-1}{2} + \frac1{5} + 0 + \dots,$$

eine Umordnung der harmonischen Reihe mit Summe $s$.

$$\bgroup\color{demo} \begin{array}{ccrrrrrrr} s & = & \frac11 ... ...rac13 & -\frac12 & \frac15 & +0 & \hdots \\ \end{array}\egroup$$

15.5.14 Definition. Unbedingte Konvergenz.
Eine Reihe $\sum_k a_k$ heißt unbedingt konvergent, wenn jede ihrer Umordnungen $\sum_k a_{\pi(k)}$ konvergiert (und zwar immer gegen den selben Grenzwert). Dabei wird eine Umordnung durch eine bijektive Abbildung $\pi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ beschrieben.

15.5.15 Riemann'scher Umordnungssatz.
Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn sie unbedingt konvergiert.

Beweis. Sei zuerst $\sum_n a_n$ absolut konvergent mit Partialsummen $s_n$. Es sei $\sum_k a_{n_k}$ ein Umordnung mit Partialsummen $s'_k$. Wegen dem Cauchy-Kriterium existiert zu $\varepsilon >0$ ein $N$ mit $\sum_{n=N}^{\infty}\vert a_n\vert\leq\varepsilon$. Nun wählen wir ein $K$ mit $n_k\geq N$ für alle $k\geq K$. Dann ist $\sum_{k=K}^{K+n}\vert a_{n_k}\vert\leq\sum_{n=N}^{\infty}\vert a_n\vert\leq \varepsilon$, also ist die umgeordnete Reihe nach dem Cauchy-Kriterium absolut konvergent.
Wir zeigen mehr noch: Die umgeordnete Reihe besitzt die gleiche Summe $s:=\sum_{k=0}^{\infty}a_k$. Für $m\geq K$ ist

$$\sum_{k=0}^m a_{n_k}-\sum_{n=0}^m a_n=\sum_{n\geq N} \de_n a_n$$

mit $\de_n\in\{-1,0,+1\}$. Also gilt für die Partialsummen

$$\vert s'_m-s_m\vert\leq \sum_{n\geq N} \vert a_n\vert <\varepsilon$$

und somit konvergiert $s'_m$ und $s_m$ gegen den gleichen Grenzwert $s$.

Umgekehrt sei nun $\sum_k a_k$ zwar konvergent aber nicht absolut konvergent (und o.B.d.A. $a_k\ne 0$ für alle $k$). Wir zerlegen $a_k=a_k^+-a_k^-$ mit $a_k^\pm:=\max\{\pm a_k,0\}\geq 0$. Dann ist $\vert a_k\vert:=a_k^++a_k^-$. Beide Reihen $\sum_k a_k^\pm$ müssen gegen $+{\infty}$ divergieren, denn sonst wäre auch die andere konvergent. Mit $\sum_k p_k$ und $\sum_k q_k$ bezeichnen wir die Reihen die daraus durch Streichen aller 0-er entstehen. Wir wählen nun rekursive Indizes $n_0,n_1,\dots$ mit

$$S <\sum_{k=0}^{n_0} p_k$$

$$S >\sum_{k=0}^{n_0} p_k + \sum_{k=0}^{n_1}-q_k$$

$$S <\sum_{k=0}^{n_2} p_k + \sum_{k=0}^{n_1}-q_k$$

$$S >\sum_{k=0}^{n_2} p_k + \sum_{k=0}^{n_3}-q_k$$

$$\vdots$$

Dann entsteht eine Umordnung der ursprünglichen Reihe, die gegen $S$ konvergiert.     []

Mit absolut konvergenten Reihen kann man recht ungestraft rechnen, wie folgende Resultate zeigen.

15.5.16 Lemma. Rechnen mit absolut konvergenten Reihen.
Falls $\sum_k a_k$ und $\sum_k b_k$ absolut konvergieren, so auch $\sum_k (a_k+\lambda b_k)$. Ist $\sum_k a_k$ absolut konvergent und $k\mapsto b_k$ beschränkt, so ist auch $\sum_k a_k b_k$ absolut konvergent.

Der 2.Teil stimmt nicht für konvergente Reihen wie das Beispiel $\sum_k (-1)^k\frac1k$ und $(-1)^k$ zeigt.

Beweis. Der 1.Teil folgt sofort aus $\sum_{k\leq n}\vert a_k+\lambda b_k\vert\leq\sum_{k\leq n}\vert a_k\vert+\lambda \sum_{k\leq n}\vert b_k\vert$.

Der 2.Teil mittels (15.3.10) aus $\sum_{k\leq n}\vert a_k b_k\vert\leq \max\{\vert b_k\vert:... ...vert\leq \sup\{\vert a_k\vert:k\}\cdot \sum_{k=0}^{\infty}\vert a_k\vert$.     []

15.5.17 Proposition. Cauchy-Produkt.
Sind die Reihen $\sum_n a_n$ und $\sum_n b_n$ absolut konvergent so auch das Cauchy-Produkt $\sum_n \Bigl(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\Bigr)$.

Beweis. Es ist

$$\sum_{n=0}^N \Bigl\vert\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\Bigr\vert \leq \sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n \vert a_k\vert \vert b_{n-k}\vert$$

$$\leq \Bigl(\sum_{k=0}^N \vert a_k\vert\Bigr)\cdot\Bigl(\sum_{j=0}... ... \leq \sum_{k=0}^{\infty}\vert a_k\vert \cdot \sum_{j=0}^{\infty}\vert b_j\vert$$

und somit folgt das Resultat aus (15.3.10).     []

Auch für Produkte können wir unendliche Versionen behandeln. Diese spielen aber keine so entscheidende Rolle.

15.5.19 Definition. Konvergente Produkte.
Eine Produkt $\prod_k a_k$ heißt konvergent, wenn die Folge der Partialprodukte $n\mapsto \prod_{k=0}^n a_k$ konvergiert.