18.3.1 Definition. Uneigentliche Integrale.
Wir wollen nun auch Integrale
behandeln, bei denen
entweder der Integrand
oder der Integrationsbereich
unbeschränkt ist.
In diesen Fall spricht man von uneigentlichen Integralen und definiert z.B. falls
bei
unbeschränkt aber auf jeden Teilintervall
von
mit
Riemann-integrierbar ist:
18.3.2 Beispiele uneigentlicher Integrale.
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18.3.3 Lemma. Cauchy-Kriterium für uneigentliche
Integrale.
Es existiere
für alle
.
Dann existiert das uneigentliche Integral
genau dann wenn
für
.
18.3.4 Proposition. Integralkriterium für
Reihenkonvergenz.
Es sei
uneigentlich Riemann-integrierbar
und
für
.
Dann konvergiert
absolut.
Beweis. Es ist
Beispiel.
Wir haben in (18.3.2) gesehen, daß das uneigentliche Integral
für
existiert. Also
ist
für diese
konvergent.
18.3.5 Definition. Euler'sche Gammafunktion.
Uner der Euler'sche Gammafunktion versteht man die Funktion
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18.3.6 Lemma. Gammafunktion als Fortsetzung von
Faktorielle.
Es gilt folgende Rekursionsformel für die Euler'sche Gamma-Funktion:
Beweis. Es ist
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18.3.8 Bemerkung.
Man kann zeigen, daß
für
(siehe [Heuser, Analysis 2, Seite 198]).
Insbesonders ist
18.3.7 Bemerkung. Integration von Kurven im
Mehrdimensionalen.
Der Hauptsatz (18.2.2) läßt sich wie folgt auf's mehrdimensionale übertragen.
Wenn
ist, dann verstehen wir unter dem
Riemann-Integral
den Vektor
Ist nun
und die Strecke
,
dann ist
als Zusammensetzung mit der
affinen Funktion
und hat Ableitung
.
Nach dem Hauptsatz angewendet auf die Kurve
ist somit
Andreas Kriegl 2002-07-01