8 Vektorräume

Wir wollen nun die wesentlichen gemeinsamen Eigenschaften der Ebene und des Raumes zum zentralen Begriff des Vektorraumes zusammenfassen.

Punkte $(x,y)$ in der Ebene $\mathbb{R}^2$ oder auch Punkte $(x,y,z)$ im Raum $\mathbb{R}^3$ können wir (koordinatenweise) addieren und auch mit skalaren $\lambda \in\mathbb{R}$ (koordinatenweise) multiplizieren.

        

Wir fassen die wesentlichen Eigenschaften dieser beiden Operationen `` $+$'' und `` $\cdot$'' in folgender Definition zusammen.

8.1 Definition.
Ein reeller Vektorraum $V$ ist eine Menge $V$ zusammen mit zwei Operationen (d.h. Abbildungen) $+:V\times V\to V$ (genannt Addition) und $\cdot:\mathbb{R}\times V\to V$ (genannt Skalarmultiplikation) für die folgendes gilt:

• $(V,+)$ ist eine Abel'sche Gruppe.
• Es gilt das assoziativ-Gesetz für $\cdot$:

  $$\lambda \cdot(\mu\cdot x) =(\lambda \cdot \mu)\cdot x\; \forall x,y\in V\;\forall \lambda \in\mathbb{R}$$

  
  

• Weiters gelten die distributiv-Gesetze:

  $$\lambda \cdot (x+y) =\lambda \cdot x+\lambda \cdot y\;\forall\lambda \in\mathbb{R}\;\forall x,y\in V$$

  $$(\lambda +\mu)\cdot x = \lambda \cdot x +\mu\cdot x\;\forall\lambda ,\mu\in\mathbb{R}\;\forall x\in V$$

  
  

• Und 1 ist ein links-neutrales Element, d.h.:
  $$1\cdot x=x\;\forall x\in V$$

8.2 Beispiele.

1. Die Gerade $\mathbb{R}$ mit der üblichen Addition und Multiplikation ist ein reeller Vektorraum.
2. Die Ebene $\mathbb{R}^2$ mit $(x,y)+(x',y'):=(x+x',y+y')$ und $\lambda \cdot (x,y)=(\lambda \,x,\lambda \,y)$ ist ein reeller Vektorraum.
3. Der Raum $\mathbb{R}^3$ mit

   $$(x,y,z)+(x',y',z') :=(x+x',y+y',z+z')$$

   $$\lambda \cdot (x,y,z) :=(\lambda \,x,\lambda \,y,\lambda \,z)$$

   
   
   ist ein reeller Vektorraum.
4. Allgemeiner ist $\mathbb{R}^n$ für $n\in\mathbb{N}$ eine reeller Vektorraum bzgl.

   $$(x_0,\dots,x_{n-1})+(x_0',\dots,x_{n-1}') :=(x_0+x_0',\dots,x_{n-1}+x_{n-1}')$$

   $$\lambda \cdot (x_0,\dots,x_{n-1}) := (\lambda \,x_0,\dots,\lambda \,x_{n-1})$$

   
   

5. Noch allgemeiner ist die Menge $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ der reellen Folgen eine reeller Vektorraum bzgl.

   $$(x_0,\dots)+(x_0',\dots) :=(x_0+x_0',\dots)$$

   $$\lambda \cdot (x_0,\dots) := (\lambda \,x_0,\dots)$$

   
   
   oder unter Vermeidung von ``...'':

   $$(x_i)_{i\in \mathbb{N}}+(x_i')_{i\in\mathbb{N}} :=(x_i+x_i')_{i\in\mathbb{N}}$$

   $$\lambda \cdot (x_i)_{i\in\mathbb{N}} := (\lambda \,x_i)_{i\in\mathbb{N}}$$

   
   

6. Noch allgemeiner sei $I$ eine beliebige Menge und $\mathbb{R}^I$ die Menge der Abbildungen $x:I\to\mathbb{R}$. Dann ist $\mathbb{R}^I$ ein reeller Vektorraum bzgl. den punktweisen Operationen:

   $$x+x':i \mapsto x(i)+x'(i)$$

   $$\lambda \cdot x:i \mapsto \lambda \,x(i)$$

   
   
   Beachte, daß im Fall $I=n:=\{0,\dots,n-1\}$ den Elementen $x\in \mathbb{R}^I$ gerade $n$-Tupeln $(x(0),\dots,x(n-1))\in\mathbb{R}^n$ entsprechen.
7. Die Menge $\mathbb{R}[x]$ aller Polynome mit reellen Koeffizienten ist ebenfalls ein reeller Vektorraum wenn man sie als Teilmenge von $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ auffaßt. Die Operationen sind wegen der distributiv-Gesetze für $\mathbb{R}$ natürlich durch

   $$\Bigl(\sum_i p_i\,x^i\Bigr)+\Bigl(\sum_i q_i\,x^i\Bigr) := \sum_i (p_i+q_i)\,x^i$$

   $$\lambda \cdot \Bigl(\sum_i p_i\,x^i\Bigr) := \sum_i (\lambda \,p_i)\,x^i$$

   
   
   gegeben.

8.3 Bemerkung.
Anstelle Skalare in $\mathbb{R}$ zu verwenden können wir aber auch einen beliebigen Körper $\mathbb{K}$ (wie z.B. $\mathbb{Q}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_3$, etc. ) verwenden. Eine Menge $V$ mit zwei Operationen $+:V\times V\to V$ und $\cdot:\mathbb{K}\times V\to V$ die obige Eigenschaften eines reellen Vektorraums mit Skalaren in $\mathbb{K}$ statt in $\mathbb{R}$ erfüllen heißt Vektorraum über $\mathbb{K}$.

Wie zuvor ist $\mathbb{K}^I$ ein Vektorraum über $\mathbb{K}$ für jede Menge $I$. Ebenso ist die Menge $\mathbb{K}[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $\mathbb{K}$ eine Vektorraum über $\mathbb{K}$.

Insbesonders für $\mathbb{K}=\mathbb{Z}_2\cong \{0,1\}$ ist also $\mathbb{K}^I$ ein Vektorraum und da die Elemente $x\in \mathbb{K}^I$ gerade durch $x^{-1}(1)=\{i\in I:x(i)=1\}\subseteq I$ charakterisiert sind, steht $\mathbb{K}^I$ in Bijektion zur Potenzmenge $\mathcal{P}(I)$ von $I$, und somit ist diese ein Vektorraum über $\mathbb{Z}_2$ wobei die Summe von Mengen $A$ und $B$ gerade die symmetrische Differenz $A\Delta B:=A\cup B\setminus A\cap B$ ist. In (11.12) werden wir diesen Vektorraum für das Korrigieren von Übertragsfehlern benötigen.

8.4 Lemma.
In jedem Vektorraum gilt

$$0\cdot x=0=\lambda \cdot 0$$

$$(-\lambda )\cdot x=-(\lambda \cdot x)=\lambda \cdot (-x)$$

Beweis. Dieser Beweis ist völlig analog zu jenem von (2.6):

Es ist $0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x$ und nach Addition von $-(0\cdot x)$ folgt $0=0\cdot x$.

Ebenso ist $\lambda \cdot 0=\lambda \cdot (0+0)=\lambda \cdot0+\lambda \cdot 0$ und somit $0=\lambda \cdot 0$.

Weiters ist $\lambda \cdot x+(-\lambda )\cdot x=(\lambda +(-\lambda ))\cdot x=0\cdot x=0$ und somit ist $-(\lambda \cdot x)=(-\lambda )\cdot x$.

Ebenso ist $\lambda \cdot x+\lambda \cdot(-x)=\lambda \cdot(x+(-x))=\lambda \cdot 0=0$, also $-(\lambda \cdot x)=\lambda \cdot (-x)$.     []

8.5 Definition.
Unter einem Teilvektorraum oder auch linearen Teilraum $W$ von $V$ (man schreibt $W\leq V$) versteht man eine Teilmenge $W\subseteq V$ welche durch die Operationen $+$ und $\cdot$ von $V$ eingeschränkt auf $W$ (genauer auf $W\times W$ bzw. $\mathbb{K}\times W$) zu einem Vektorraum gemacht werden.

8.6 Lemma.
Eine nicht-leere Teilmenge $W\subseteq V$ eines Vektorraums $V$ ist genau dann ein Teilvektorraum, wenn $x+\lambda \,y\in W$ aus $x,y\in W$, $\lambda \in\mathbb{K}$ folgt.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Damit $+$ und $\cdot$ die Menge $W$ zu einem Vektorraum machen muß zumindestens $\lambda \,x\in W$ und $x+y\in W$ sein für $x,y\in W$ und $\lambda \in\mathbb{K}$. Also ist auch $x+\lambda \,y\in W$.

( $\Leftarrow$) Umgekehrt sei $x+\lambda \,y\in W$ für alle $x,y\in W$ und $\lambda \in\mathbb{K}$. Dann ist insbesonders $x+y=x+1\,y\in W$ und wenn $x_0\in W$ ist, dann ist $0=x_0-x_0=x_0+(-1)x_0\in W$ und somit auch $\lambda \,y=0+\lambda \,y\in W$ für $y\in W$. Also lassen sich die Addition und die Skalarmultiplikation zu Abbildungen $+:W\times W\to W$ und $\cdot:\mathbb{K}\times W\to W$ einschränken. Da diese alle nötigen Eigenschaften sogar für Punkte in $V$ erfüllen ist $W$ bezüglich diesen ein Vektorraum. Beachte, daß $-x=(-1)x\in W$ für alle $x\in W$ gilt.     []

8.7 Beispiel.
Wir betrachten eine Ebene $W:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:a\,x+b\,y+c\,z=0\}$ durch 0 im Raum $\mathbb{R}^3$, wobei $(a,b,c)$ ein vorgegebener (Normal)vektor (auf sie) sei. Nach (8.6) ist $W$ ein Teilvektorraum von $\mathbb{R}^3$, denn aus $(x,y,z),(x',y',z')\in W$ und $\lambda \in\mathbb{R}$ folgt

$$a\,(x+\lambda \,x') + b\,(y+\lambda \,y')+c\,(... ...a \,z') = (a\,x+b\,y+c\,z)+\lambda \,(a\,x'+b\,y'+c\,z')=%%0+\la\,0= 0,$$

also $(x,y,z)+\lambda \,(x',y',z')\in W$.

Ganz ähnlich zeigt man, daß die Lösungsmenge jeder homogenen linearen Gleichung

$$\sum_{i=0}^{n-1} a_i\,x_i=0$$

mit Koeffizienten $a_i\in\mathbb{R}$ ein Teilvektorraum von $\mathbb{R}^n$ ist.

8.8 Folgerung.
Es sei $\mathcal{W}$ eine Menge von Teilvektorräumen $W\leq V$. Dann ist auch der Durchschnitt $\bigcap\mathcal{W}$ ein Teilvektorraum von $V$.

Beweis. Es sei $x,y\in\bigcap\mathcal{W}$, also $x,y\in W$ für alle $W\in\mathcal{W}$. Nach (8.6) ist auch $x+\lambda \,y\in W$ und somit $x+\lambda \,y\in\bigcap\mathcal{W}$. Wegen $0\in\bigcap\mathcal{W}$ folgt aus (8.6), daß $\bigcap\mathcal{W}$ ein Teilvektorraum ist.     []

8.9 Beispiel.
Geraden $W$ durch 0 im $\mathbb{R}^3$ können ja bekanntlich als Durchschnitte $W_1\cap W_2$ von Ebenen $W_i$ (durch 0) beschrieben werden, also sind solche Geraden ebenfalls Teilvektorräume.

Gleiches gilt für die Lösungsmenge eines Systems homogener linearer Gleichungen:

$$\sum_{j=0}^{n-1} a_{i,j}\,x_j=0$$ für $$i\in\{0,\dots,m-1\}.$$

8.10 Bemerkung.
Ebenen in allgemeiner Lage sind Lösungsmengen $E:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:a\,x+b\,y+c\,z=d\}$ inhomogener linearer Gleichungen $a\,x+b\,y+c\,z=d$ mit $(a,b,c)\ne 0$. Nach Wahl eines Punktes $p:=(x_0,y_0,z_0)\in E$ ist $E$ beschreibbar als $E=p+W$ wobei $W$ die Lösungsmenge $W:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:a\,x+b\,y+c\,z=0\}$ der zugehörigen homogenen Gleichung $a\,x+b\,y+c\,z=0$ ist, denn sei $(x_1,y_1,z_1)\in E$, also $a\,x_1+b\,y_1+c\,z_1=d=a\,x_0+b\,y_0+c\,z_0$ und somit $a\,x+b\,y+c\,z=0$, wobei $(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)-(x_0,y_0,z_0)$, d.h. $(x_1,y_1,z_1)=(x_0,y_0,z_0)+(x,y,z)\in p+W$. Umgekehrt sei $(x_1,y_1,z_1)\in p+W$, d.h. $(x_1,y_1,z_1)=(x_0,y_0,z_0)+(x,y,z)$ mit $(x,y,z)\in W$, dann ist $a\,x_1+b\,y_1+c\,z_1=(a\,x_0+b\,y_0+c\,z_0)+(a\,x+b\,y+c\,z)=d+0$, also $(x_1,y_1,z_1)\in E$.

8.11 Definition.
Unter einen affinen Teilraum eines Vektorraums $V$ versteht man eine Teilmenge der Form $p+W$ von $V$, wobei $p\in V$ und $W$ ein Teilvektorraum von $V$ ist.

8.12 Bemerkung.
Im Unterschied zu Durchschnitten sind Vereinigungen von Teilvektorräumen selten wieder Teilvektorräume: Betrachte z.B. die Vereinigung zweier verschiedener Geraden $W_1$ und $W_2$ durch 0 in $\mathbb{R}^2$. Hingegen ist folgende Menge $W_1+W_2$ das passenden Pendant zur Vereinigung für Teilvektorräume.

8.13 Definition.
Es seien $A,B\subseteq V$. Dann versteht man unter der Summe von $A$ und $B$ die Menge

$$A+B:=\{a+b:a\in A,b\in B\}.$$

8.14 Lemma.
Es seien $W_1,W_2\leq V$ zwei Teilvektorräume. Dann ist $W_1+W_2$ auch ein Teilvektorraum von $V$, und zwar der kleinste, der $W_1$ und $W_2$ enthält.

Beweis. Seien $x,x'\in W_1+W_2$, d.h. es existieren $w_1,w_1'\in W_1$ und $w_2,w_2'\in W_2$ mit $x=w_1+w_2$ und $x'=w_1'+w_2'$. Sei weiters $\lambda \in\mathbb{K}$, dann ist $x+\lambda \,x'=(w_1+w_2)+\lambda \,(w_1'+w_2')=(w_1+\lambda \,w_1')+(w_2+\lambda \,w_2')\in W_1+W_2$. Nun folgt die Teilraumeigenschaft aus (8.6).

Offensichtlich ist $W_1,W_2\subseteq W_1+W_2$, da $0\in W_1\cap W_2$ liegt. Sei nun $W$ ein weiterer Teilraum von $V$ mit dieser Eigenschaft anstelle von $W_1+W_2$, dann ist $W_1\cup W_2\subseteq W$ und somit auch $w_1+w_2\in W$ für alle $w_1\in W_1$ und $w_2\in W_2$, also $W_1+W_2\subseteq W$. Dies zeigt, daß $W_1+W_2$ der kleinste Teilvektorraum mit dieser Eigenschaft ist.     []

8.15 Definition.
Es sei $A\subseteq V$ eine Teilmenge. Unter den von $A$ erzeugten Teilvektorraum oder auch das lineare Erzeugnis $\langle A\rangle_{\text{VR}}$ versteht man den kleinsten Teilvektorraum von $V$ der $A$ enthält, also nach (8.8) gerade den Durchschnitt aller Teilvektorräume $W\leq V$ mit $A\subseteq W$.

8.16 Lemma.
Der von einer Teilmenge $A\subseteq V$ erzeugte Teilvektorraum ist durch

$$\langle A\rangle_{\text{VR}}= \Bigl\{\sum_{k=1... ...bda _k\,a_k:n\in\mathbb{N},\forall k:a_k\in A,\lambda _k\in\mathbb{K}\}$$

gegeben, also die Menge aller Linearkombinationen $\sum_k \lambda _k\,a_k$ von Vektoren $a_k$ aus $A$ mit Koeffizienten $\lambda _k\in\mathbb{K}$.

Geometrische ist eine Linearkombination $v=\sum_k \lambda _k\,a_k$ jener Vektor der dadurch entsteht, daß man $\lambda _1$ lange in Richtung $a_1$ geht, danach $\lambda _2$ lange in Richtung $a_2$, u.s.w. bis man schließlich $\lambda _k$ lange in Richtung $a_k$ geht.

Beweis. Wir können bei den Linearkombinationen $\sum_k \lambda _k\,a_k$ annehmen, daß die $a_k$ alle verschieden sind, denn andernfalls kann die Teilsumme jener $k$, wo $a_k=a$ ist, auch als

$$\sum_{k\text{ mit }a_k=a} \lambda _k\, a_k = \... ... _a}\to{(\sum_{k\text{ mit }a_k=a}\lambda _k)}\, a =: \lambda _a\cdot a$$

geschrieben werden und somit ist

$$\sum_{k=1}^n \lambda _k\,a_k=\sum_{a\in\{a_1,\dots,a_k\}}\lambda _a\,a$$

Indem wir als Koeffizient $\lambda _a$ jene $a\in A$ die nicht $\{a_1,\dots,a_n\}$ vorkommen gerade $\lambda _a:=0$ wählen, können wir dies weiter als

$$\sum_{a\in A}\lambda _a\,a$$

schreiben, wobei nur für endlich viele $a$ der Koeffizient $\lambda _a\ne 0$ ist.

Wir wollen also zeigen, daß

$$\langle A\rangle_{\text{VR}} = \Bigl\{\sum_{a\... ... _a\in\mathbb{K}\text{ und }\lambda _a=0\text{ für fast alle }a\Bigr\}.$$

Dabei bedeutet ``fast alle'' gerade ``alle bis auf endlich viele Ausnahmen''.

Wir bezeichnen die Menge auf der rechten Seite mit $W_0$. Dann ist $W_0$ eine Teilvektorraum, denn mit $\sum_a\nu_a\,a$ und $\sum_a\mu_a\,a$ ist auch $\sum_a\nu_a\,a+\lambda \sum_a\mu_a\,a=\sum_a(\nu_a+\lambda \,\mu_a)\,a\in W_0$. Mittels Induktion folgt aber sofort, daß jeder Teilvektorraum $W$ der $A$ enthält auch jede endliche lineare Kombination $\sum_{a\in A}\lambda _a\,a$ enthalten muß, also ist $W_0$ der kleinste solche Teilvektorraum ist und somit gilt $W_0=\langle A\rangle_{\text{VR}}$ nach Definition (8.15).     []

8.17 Folgerung.
Es ist $W\subseteq V$ genau dann ein Teilvektorraum, wenn $\langle W\rangle_{\text{VR}}=W$ ist.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Ist $W$ ein Teilvektorraum, so sicherlich auch der kleinste, der $W$ als Teilmenge enthält, also $W=\langle W\rangle_{\text{VR}}$.

( $\Leftarrow$) ist klar, da $\langle W\rangle_{\text{VR}}$ ein Teilvektorraum ist.     []

8.18 Bemerkung.
Es ist $V:=\mathbb{R}^3$ die Summe $W_1+W_2$ zweier Ebenen, z.B.  $W_1:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:z=0\}$ und $W_2:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:y=0\}$, aber die Darstellung von $(x,y,z)\in V$ als $w_1+w_2$ mit $w_i\in W_i$ ist nicht eindeutig:

$$(x,y,0)+(0,0,z)=(x,y,z)=(0,y,0)+(x,0,z).$$

Anteile $(x,0,0)$ die in $W_1\cap W_2$ liegen können wir von einem zum anderen Summanden verschieben.

Eindeutigkeit kann wie folgt charakterisiert werden.

8.19 Lemma.
Es seien $W_1,W_2\subseteq V$ zwei Teilräume. Dann ist für alle $x\in W_1+W_2$ die Darstellung als $x=x_1+x_2$ mit $x_i\in W_i$ genau dann eindeutig, wenn $W_1\cap W_2=\{0\}$. Man schreibt $W_1\oplus W_2$ anstelle $W_1+W_2$ in dieser Situation, und nennt diesen Raum die direkte Summe von $W_1$ und $W_2$. Falls $V=W_1\oplus W_2$, so nennt man $W_2$ einen Komplementärraum zu $W_1$ in $V$.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Es sei $w\in W_1\cap W_2$, dann sind $w+0=w=0+w$ zwei Darstellungen von $w\in W_1+W_2$ und wegen der Eindeutigkeit ist $w=0$ (und $0=w$), also das einzige Element von $W_1\cap W_2$.

( $\Leftarrow$) Seien $w_1+w_2=w=w_1'+w_2'$ zwei Darstellungen von $w\in W_1+W_2$. Dann ist $W_1\ni w_1-w_1'=w_2'-w_2\in W_2$ und wegen $W_1\cap W_2=\{0\}$ ist also $w_1-w_1'=0=w_2'-w_2$, also $w_1=w_1'$ und $w_2=w_2'$, d.h. die Darstellung ist eindeutig.     []

8.20 Bemerkung.
Ein Teilvektorraum $W$ von $V$ wird im allgemeinen viele Komplementärräume besitzen. Sei z.B. $V:=\mathbb{R}^2$ und $W:=\mathbb{R}\times \{0\}$ die x-Achse. Die Komplementärräume $W'$ zu $W$ sind alle von $W$ verschiedenen Geraden $W'$ durch 0.