2 Grundlegende Algebra

Wir wollen als nächstes die verschiedenen Typen von Zahlen behandeln, insbesonders fixieren wie man mit ihnen rechnen kann, und klären wie sie definiert sind. Am wichtigsten dabei sind wohl die reellen Zahlen, die man ja geometrisch als Punkte auf einer in beide Richtungen unendlich langen Gerade auffassen kann.

2.1 Definition.
Reelle Zahlen werden im täglichen Leben üblicherweise als Dezimalzahlen beschrieben, also als ein Vorzeichen $+$ oder $-$ gefolgt von einer (möglicherweise) unendliche Folgen von Ziffern in $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ die noch irgendwo durch einen Dezimalpunkt unterbrochen werden. Beachte aber, daß es verschiedene Darstellungen der gleichen Dezimalzahl gibt, z.B. $-0001.=-1.$. Führende Nuller zu verbieten ist keine gute Idee, denn z.B. für $+0.001$ benötigt man sie. Weiters ist $1.0=0.999999\dots$.

Eine exakte Beschreibung werden wir in (6.4) liefern.

Mit $\mathbb{R}$ bezeichnen wir wie üblich die Menge aller reeller Zahlen. Was kann man mit reellen Zahlen anfangen? Nun offensichtlich können wir sie vergleichen, d.h. wir haben eine lineare Ordnung $\leq$ auf $\mathbb{R}$. Weiters können wir reelle Zahlen addieren und multiplizieren und es gelten die kommutativ- und assoziativ-Gesetz für Addition und Multiplikation sowie das distributiv-Gesetz

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c$$

der Multiplikation bzgl. der Addition. Beachte, daß wir zwecks Vermeidung zuvieler Klammern die Regel verwenden, daß Punktrechnungen stärker binden (also zuerst ausgeführt werden müssen) als Strichrechnungen.

Natürlich besteht eine der Hauptaufgaben des Mathematikers darin Gleichungen zu lösen. Insbesonders können wir Gleichungen der Form

$$a=x+b$$    und $$a=x\cdot b$$

betrachten. Um nicht für die Addition und für die Multiplikation (und auch für einige andere Operationen) die gleichen Argumente mehrmals durchführen zu müssen, ist es am günstigsten das Gemeinsame herauszuarbeiten. Wir haben also in einer Grundmenge $X$ (in unserem Fall $X=\mathbb{R}$) eine Operation $\bullet:X\times X\to X$ (in unseren Fall ` $+$' bzw. ` $\cdot$') die assoziativ ist. Wir sind daran interessiert Gleichungen der Form $a=x\bullet b$ bzw. $a=b\bullet y$ mit $a,b\in X$ nach $x$ bzw. $y$ aufzulösen. In unserem Fall ist die Operation kommutativ, also würde es genügen nur eine der beiden Gleichungstypen zu behandeln, aber um hinreichend allgemeine Situationen zu inkludieren (wie z.B. die Komposition) wollen wir von der Kommutativität absehen.

2.2 Definition.
Unter einer Halbgruppe versteht man eine Menge $H$ zusammen mit einer Abbildung $\bullet:H\times H\to H$ welche das assoziativ-Gesetz erfüllt:

$$\forall x,y,z\in H:\;(x\bullet y)\bullet z=x\bullet (y\bullet z),$$

wobei wir $x\bullet y$ anstelle von $\bullet(x,y)$ schreiben.

Unter einer Gruppe verstehen wir eine Halbgruppe $(H,\bullet)$, s.d.

$$\forall a,b\in H\;\exists x,y\in H: a=x\bullet b$$ und $$a=b\bullet y,$$

d.h. all diese Gleichungen lösbar sind.

2.3 Beispiele.

1. Die natürlichen Zahlen sind bezüglich der Addition eine kommutative Halbgruppe $(\mathbb{N},+)$ mit neutralem Element 0.
2. Die natürlichen Zahlen sind bezüglich der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Halbgruppe $(\mathbb{N},\cdot)$ mit neutralem Element $1$.
3. Die Potenzmenge einer fixen Menge $X$ ist sowohl bezüglich Durchschnitt als auch bezüglich Vereinigung eine kommutative Halbgruppe $(\mathcal{P}(X),\cap)$ bzw. $(\mathcal{P}(X),\cup)$ mit $X$ bzw. $\emptyset$ als neutralem Element.
4. Die Menge der Abbildungen einer Menge in sich ist bezüglich der Komposition eine (nicht kommutative) Halbgruppe $(X^X,\o )$ mit der Identität $\operatorname{id}_X$ als neutralen Element.
5. Keines dieser Beispielen ist eine Gruppe. Allerdings ist die Teilmenge $\operatorname{Bij}(X):=\{f\in X^X:f$ ist bijektiv$\}$ der bijektiven Abbildungen von $X$ auf $X$ bezüglich der Zusammensetzung eine Gruppe.

2.4 Proposition.
Eine nicht-leere Halbgruppe $(H,\bullet)$ ist genau dann eine Gruppe, wenn folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:

1. $\exists e\in H$ $\forall x\in H$: $e\bullet x=x$;
2. $\forall x\in H$ $\exists y\in H$: $y\bullet x=e$, wobei $e$ ein fixes Element wie im vorigen Punkt sei.

Man nennt $e$ links-neutrales Element und $y$ links-inverses Element zu $x$. Diese sind in jeder Gruppe eindeutig bestimmt und erfüllen zusätzlich die Gleichungen $x\bullet e=x$ und $x\bullet y=e$, sind also gleichzeitig auch rechts-neutral und rechts-invers. Es genügt also zusammenfassend von dem neutralen und dem zu $x$ inversen Element (und man schreibt $x^{-1}$ dafür) zu sprechen.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Sei $H\ne\emptyset$ und $c\in H$. Dann existiert eine Lösung $e$ von $c=e\bullet c$. Sei nun $h\in H$ beliebig. Dann existiert ein $x\in H$ mit $h=c\bullet x$. Somit ist

$$e\bullet h = e\bullet(c\bullet x) = (e\bullet c)\bullet x =c \bullet x = h.$$

Nun zur Existenz von Inversen. Sei $h\in H$ beliebig. Dann existiert eine Lösung $k$ von $k\bullet h=e$, also ein Linksinverses zu $h$.

( $\Leftarrow$) Wir zeigen zuerst, daß links-neutrale und links-inverse es auch für die rechte Seite sind: Sei $a'$ ein Linksinverses zu $a$, d.h. $a'\bullet a=e$. Somit ist $a'\bullet (a\bullet a')=(a'\bullet a)\bullet a'=e\bullet a'=a'$, und nach Multiplikation mit dem Linksinversen $a''$ zu $a'$ ist $a\bullet a'=e\bullet (a\bullet a')=(a''\bullet a')\bullet (a\bullet a')= a''\bullet (a'\bullet(a\bullet a'))=a''\bullet a'=e$.

Weiters ist $a\bullet e=a\bullet (a'\bullet a)=(a\bullet a')\bullet a=e\bullet a=a$.

Nun zur Eindeutigkeit. Sei $e'$ ein weiteres Linksneutrales. Dann gilt $e=e'\bullet e=e'$, da $e$ auch rechtsneutral ist. Sei $k'$ ein weiteres Linksinverses zu $h$, d.h. $e=k'\bullet h$. Dann ist $k=e\bullet k=(k'\bullet h)\bullet k=k'\bullet (h\bullet k)=k'\bullet e=k'$, da $k$ auch rechtsinvers und $e$ rechtsneutral ist.

Sei $x:=a\bullet b'$ und $y:=b'\bullet a$, wobei $b'$ ein Inverses zu $b$ sei. Dann ist $x\bullet b=(a\bullet b')\bullet b=a\bullet (b'\bullet b)=a\bullet e=a$ und $b\bullet y=b\bullet (b'\bullet a)=(b\bullet b')\bullet a=e\bullet a=a$.

Die Geichungen haben dann sogar eindeutige Lösungen, denn aus $a=x\bullet b$ folgt durch Multiplikation mit dem Inversen $b^{-1}$ zu $b$ die Beziehung $a\bullet b^{-1}=(x\bullet b)\bullet b^{-1} =x\bullet (b\bullet b^{-1})=x\bullet e$, und ebenso $b^{-1}\bullet a=b^{-1}\bullet (b\bullet y) =(b^{-1}\bullet b)\bullet y=e\bullet y=y$.     []

Achtung: Die Menge $H$ der injektiven Abbildungen $f:X\to X$ ist bezüglich Zusammensetzung $\o$ eine Halbgruppe mit der Identität $\operatorname{id}_X$ auf $X$ als neutralem Element. Zu jedem solchen $f$ existiert nach (1.16) ein links-Inverses. Warum ist $H$ trotz (2.4) dennoch keine Gruppe?

2.5 Lemma.
Falls Elemente $x$ und $y$ einer Halbgruppe $H$ invertierbar sind, so auch $x\bullet y$ und es ist $(x\bullet y)^{-1}=y^{-1}\bullet x^{-1}$.

Beweis. Es ist $(x\bullet y)\bullet(y^{-1}\bullet x^{-1})= x\bullet y\bullet y^{-1}\bullet x^{-1}=x\bullet e\bullet x^{-1} =x\bullet x^{-1}=e$.     []

Aus der Schule wissen wir von der Existenz neutraler Elemente 0 bzw. $1$ in $\mathbb{R}$ bzgl. Addition und Multiplikation, als auch von der Existenz additiver Inverser $-a$ zu $a\in\mathbb{R}$ und multiplikativer Inverser $1/a$ zu $0\ne a\in\mathbb{R}$. Es ist also $\mathbb{R}$ mit der Addition eine kommutative (oder Abel'sche) Gruppe, und $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ eine solche bzgl. der Multiplikation. Wie man deren Existenz wirklich beweisen kann, werden wir in (6.4) skizzieren.

Man nennt eine Menge $X$ mit zwei Operationen $+:X\times X\to X$ (genannt Addition) und $\cdot:X\times X\to X$ genannt Multiplikation) die assoziativ und distributiv sind und für die $(X,+)$ eine Abel'sche Gruppe ist einen Ring. Man schreibt dann 0 für das neutrale Element und $-x$ für das zu $x$ inverse Element bzgl. der Addition. Falls die Multiplikation zusätzlich kommutativ ist, so spricht man von einen kommutativen Ring, und falls ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation existiert so schreibt man $1$ für dieses und spricht von einen Ring mit 1. Ist sogar $X\setminus\{0\}$ bzgl. Multiplikation eine kommutative Gruppe so spricht man von einem Körper und schreibt auch $1/x$ für das zu $x$ inverse Element bzgl. der Multiplikation.

Zusammengefaßt wissen wir also aus der Schule, daß $(\mathbb{R},+,\cdot)$ ein Körper ist. Die Lösung der Gleichung $a=x+b$ ist somit durch $x:=a+(-b)=:a-b$ (die Differenz, also das Ergebnis der Subtraktion von $a$ minus $b$) gegeben und jenen von $a=x\cdot b$ für $b\ne 0$ durch $x:=a\cdot (1/b)=:\frac{a}{b}$ (der Quotient, also das Ergebnis der Division von $a$ durch $b$). Wir können also auch in beliebigen Körpern Subtraktion und Division auf diese Weise definieren.

Die lineare Ordnung $\leq$ auf $\mathbb{R}$ ist mit den Operationen $+$ und $\cdot$ im folgenden Sinn verträglich (Monotoniegesetze):

$$a\leq b \Rightarrow a+c\leq b+c$$

$$a\leq b c\geq 0 \Rightarrow a\cdot c\leq b\cdot c$$

In diesen Situation (also einen Körper mit einer Ordnung die die Monotoniegesetze erfüllt) spricht man von einem angeordneten Körper.

2.6 Rechenregeln für angeordnete Körper.

$\bullet$

In jedem Körper gelten folgende Regeln für das Bruchrechnen:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{ad+bc}{bd}$$

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} =\frac{ac}{bd}$$

$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} =\frac{ad}{bc}$$

Beweis.

$$\frac{ad+bc}{bd} =(ad+bc)(bd)^{-1} = (ad+bc)d^{-1}b^{-1}$$

$$= add^{-1}b^{-1}+ bcd^{-1}b^{-1} = ab^{-1}+cd^{-1}bb^{-1} =\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$$

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = (ab^{-1})(cd^{-1}) = acd^{-1}b^{-1} =(ac)(bd)^{-1} =\frac{ac}{bd}$$

$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} =(ab^{-1})(cd^{-1})^{-1} = ab^{-1}(d^{-1})^{-1}c^{-1}$$

$$= adc^{-1}b^{-1} = (ad)(bc)^{-1} =\frac{ad}{bc}$$

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$\bullet$

Folgende einfache Rechenregeln gelten ebenfalls in jedem Körper:

$$0\cdot a =0$$

$$a\cdot b=0 \Leftrightarrow a=0\vee b=0$$

$$(-a)\cdot b = -a\cdot b$$

Beweis.

$$0\cdot a = (0+0)\cdot a=0\cdot a + 0\cdot a \quad \Rightarrow$$

$$=0\cdot a -(0\cdot a)=0\cdot a + 0\cdot a - (0\cdot a) =0\cdot a$$ 0

$$a\cdot b=0 b\ne 0 \Rightarrow 0=0\cdot b^{-1} = a\cdot b\cdot b^{-1} = a$$

$$a\cdot b+ (-a)\cdot b =(a+(-a))\cdot b=0\cdot b=0 \quad\Rightarrow$$

$$-(a\cdot b) =(-a)\cdot b$$

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$\bullet$

Für jede Ordnung $\leq$ ist durch $a<b$ $:\Leftrightarrow (a\leq b$ und $a\ne b)$ eine strikte Ordnung definiert, d.h. eine transitive und antireflexive (d.h. $\forall x:x\not<x$) Relation, für die und aus $x<y$ die Aussage $y\not<x$ folgt.

Beweis. Es ist nur die Transitivität nachzuweisen. Sei also $x<y$ und $y<z$. Dann ist $x\leq y$ und $y\leq z$, also $x\leq z$. Wäre $x=z$ so hätte die Antisymmetrie von $\leq$ zur Folge, daß $x=y$ gilt, ein Widerspruch zu $x<y$.     []

$\bullet$

Umgekehrt kann man natürlich die Ordnung $\leq$ aus der strikten Ordnung $<$ zurückerhalten, indem man $x\leq y:\Leftrightarrow x<y\vee x=y$ setzt. Aus obigen Eigenschaften von $<$ folgt für beliebige strikte Ordnungen $<$, daß die daraus erhaltene Relation $\leq$ eine Ordnung ist.

Beweis. Die Reflexivität von $\leq$ ist klar und die Antisymmetrie folgt, denn $x\leq y\Rightarrow x<y\vee x=y$. Wäre also $x\ne y$, dann wäre $y\not<x$ und wegen $y\leq x$ folgt doch $y=x$. Die Transitivität von $\leq$ folgt aus jener von $<$ durch Fallunterscheidungen.     []

$\bullet$

In jedem angeordneten Körper gilt:

$$a\leq b,\quad c\leq d \Rightarrow a+c\leq b+d$$

$$a\leq b \Rightarrow -b \leq -a$$

$$a\leq b,\quad c\leq 0 \Rightarrow bc \leq ac$$

$$0\leq 1$$

$$0< a \Rightarrow 0<\frac1a$$

$$0<a\leq b \Rightarrow 0<\frac1b\leq \frac1a$$

Beweis.

$$a\leq b,\; c\leq d \Rightarrow a+c\leq b+c\leq b+d$$

$$a\leq b \Rightarrow -b=a+(-a)+(-b)\leq b+(-a)+(-b)=-a$$

$$a\leq b,\; c\leq 0 \Rightarrow -c\geq 0\Rightarrow -a\cdot c=a\cdot (-c)\leq b\cdot (-c)=-b\cdot c$$

$$\Rightarrow b\cdot c\leq a\cdot c$$

$$0\geq 1 \Rightarrow -1\geq -0=0$$

$$\Rightarrow 1=(-1)\cdot (-1)\geq 0,$$

$$0< a 0\geq \frac{1}{a} \Rightarrow 0=0\cdot a\leq a\cdot\frac1a =1,$$

$$0<a\leq b \Rightarrow 0<\frac1b,\;0<\frac1a \Rightarrow \frac1b=a\,\frac1a\,\frac1b\leq b\,\frac1a\,\frac1b=\frac1a$$

    []

Wir wenden uns nun der Frage zu, wie wir die Existenz von $\mathbb{R}$ als angeordneter Körper nachweisen können. Wir gehen dabei in etwa der Geschichte folgend vor und beginnen bei: