Wir wollen als nächstes die verschiedenen Typen von Zahlen behandeln, insbesonders fixieren wie man mit ihnen rechnen kann, und klären wie sie definiert sind. Am wichtigsten dabei sind wohl die reellen Zahlen, die man ja geometrisch als Punkte auf einer in beide Richtungen unendlich langen Gerade auffassen kann.
2.1 Definition.
Reelle Zahlen werden im täglichen Leben
üblicherweise als Dezimalzahlen beschrieben, also
als ein Vorzeichen
oder
gefolgt von einer
(möglicherweise) unendliche Folgen von Ziffern in
die noch irgendwo durch einen Dezimalpunkt unterbrochen werden.
Beachte aber, daß es verschiedene Darstellungen der gleichen Dezimalzahl
gibt, z.B.
. Führende Nuller zu verbieten ist keine gute Idee,
denn z.B. für
benötigt man sie. Weiters ist
.
Eine exakte Beschreibung werden wir in (6.4) liefern.
Mit
bezeichnen wir wie üblich die Menge aller reeller Zahlen.
Was kann man mit reellen Zahlen anfangen?
Nun offensichtlich können wir sie vergleichen, d.h.
wir haben eine lineare Ordnung
auf
.
Weiters können wir reelle Zahlen addieren und multiplizieren und es gelten
die kommutativ- und assoziativ-Gesetz für Addition und Multiplikation
sowie das distributiv-Gesetz
Natürlich besteht eine der Hauptaufgaben des Mathematikers darin Gleichungen zu lösen. Insbesonders können wir Gleichungen der Form
2.2 Definition.
Unter einer Halbgruppe versteht man eine Menge
zusammen mit einer
Abbildung
welche das assoziativ-Gesetz erfüllt:
Unter einer Gruppe verstehen wir eine
Halbgruppe
, s.d.
2.4 Proposition.
Eine nicht-leere Halbgruppe
ist genau dann eine Gruppe, wenn
folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:
Beweis. (
![]() |
Nun zur Existenz von Inversen. Sei
beliebig.
Dann existiert eine Lösung
von
, also ein Linksinverses
zu
.
(
)
Wir zeigen zuerst, daß links-neutrale und links-inverse es auch für
die rechte Seite sind:
Sei
ein Linksinverses zu
, d.h.
.
Somit ist
,
und nach Multiplikation mit dem Linksinversen
zu
ist
.
Weiters ist
.
Nun zur Eindeutigkeit. Sei
ein weiteres Linksneutrales.
Dann gilt
, da
auch rechtsneutral ist.
Sei
ein weiteres Linksinverses zu
, d.h.
. Dann ist
, da
auch rechtsinvers und
rechtsneutral ist.
Sei
und
, wobei
ein Inverses zu
sei.
Dann ist
und
.
Die Geichungen haben dann sogar eindeutige Lösungen, denn aus
folgt durch Multiplikation mit dem Inversen
zu
die Beziehung
, und ebenso
.
[]
Achtung: Die Menge
der injektiven Abbildungen
ist bezüglich
Zusammensetzung
eine Halbgruppe mit der Identität
auf
als
neutralem Element. Zu jedem solchen
existiert nach (1.16)
ein links-Inverses. Warum ist
trotz (2.4) dennoch keine Gruppe?
2.5 Lemma.
Falls Elemente
und
einer Halbgruppe
invertierbar sind, so auch
und
es ist
.
Beweis. Es ist
Aus der Schule wissen wir von der Existenz neutraler Elemente
0 bzw.
in
bzgl. Addition und Multiplikation, als auch von der Existenz
additiver Inverser
zu
und multiplikativer Inverser
zu
. Es ist also
mit der Addition eine kommutative (oder Abel'sche) Gruppe,
und
eine solche bzgl. der Multiplikation.
Wie man deren Existenz wirklich beweisen kann, werden wir in (6.4)
skizzieren.
Man nennt eine Menge
mit zwei Operationen
(genannt Addition)
und
genannt Multiplikation)
die assoziativ und distributiv sind und für die
eine
Abel'sche Gruppe ist einen Ring. Man schreibt dann
0 für das neutrale
Element und
für das zu
inverse Element bzgl. der Addition.
Falls die Multiplikation zusätzlich kommutativ ist, so spricht man von einen
kommutativen Ring, und falls ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation
existiert so schreibt man
für dieses und spricht von einen Ring mit 1.
Ist sogar
bzgl. Multiplikation eine kommutative Gruppe
so spricht man von einem Körper und schreibt auch
für das zu
inverse Element bzgl. der Multiplikation.
Zusammengefaßt wissen wir also aus der Schule,
daß
ein Körper ist.
Die Lösung der Gleichung
ist somit durch
(die Differenz, also das Ergebnis der Subtraktion
von
minus
)
gegeben und jenen von
für
durch
(der Quotient, also das Ergebnis der
Division von
durch
).
Wir können also auch in beliebigen Körpern Subtraktion und Division auf diese
Weise definieren.
Die lineare Ordnung
auf
ist mit den Operationen
und
im folgenden
Sinn verträglich (Monotoniegesetze):
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2.6 Rechenregeln für angeordnete Körper.
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Beweis.
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Beweis.
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0 | ![]() |
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Beweis. Es ist nur die Transitivität nachzuweisen. Sei also
Beweis. Die Reflexivität von
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Beweis.
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Ang. ![]() |
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||
Ang. ![]() ![]() |
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Wir wenden uns nun der Frage zu, wie wir die Existenz von
als angeordneter
Körper nachweisen können.
Wir gehen dabei in etwa der Geschichte folgend vor und beginnen bei:
Andreas Kriegl 2002-02-01