7 Die komplexen Zahlen

Von Leibniz stammt folgende Aussage aus 1702:

...imaginäre Wurzeln als feine und wunderbare Zuflucht des göttlichen Geistes, beinahe ein Zwitterwesen zwischen Sein und Nichtsein.

Bzw. Euler 1768:

...dieselben ohnmögliche Zahlen sind. Der Begriff von solchen Zahlen, welche ihrer Natur nach ohnmöglich sind und gemeiniglich imaginäre Zahlen oder eingebildete Zahlen genannt werden, weil sie bloß allein in der Einbildung statt finden.

7.1 Bemerkung.
Keine Lösung von $x^2=-1$ liegt in $\mathbb{R}$.

Beweis. Angenommen eine Lösung, die wir mit $i$ bezeichnen, liegt in $\mathbb{R}$. Dann ist $-1=i^2\geq 0$ und somit $1\leq 0$, ein Widerspruch zu (2.6).     []

7.2 Definition. Körper der komplexen Zahlen.
Wir betrachten folglich eine virtuelle Lösung $i$ (die sogenannte imaginäre Einheit) von $i^2=-1$ und versuchen damit herumzurechnen. Insbesonders sollten wir reelle Zahlen hinzuaddieren und hinzumultiplizieren können, also Ausdrücke der Form $a+i\,b$ bilden können. Da das kommutativ- und das distributiv-Gesetz auch hier gelten sollte ergibt sich

$$(a+i\,b)+(a'+i\,b') =(a+a')+i\,(b+b')$$

$$(a+i\,b)\cdot (a'+i\,b') = a.\ a'+i\,b\,a'+a\,i\,b'+i\,b\,i\,b' = a.\ a'+i\,a'\,b+i\,a\,b'-b\,b'$$

$$=(a\,a'-b\,b')+i(a\,b'+a'\,b).$$

Somit definieren wir die Menge der komplexen Zahlen durch $\mathbb{C}:=\{a+i\,b:a,b\in\mathbb{R}\}$ mit Addition $(a+i\,b)+(a'+i\,b'):=(a+a')+i\,(b+b')$ und Multiplikation $(a+i\,b)\cdot (a'+i\,b'):=(a\,a'-b\,b')+i(a\,b'+a'\,b)$ und erhalten den Körper der komplexen Zahlen. Man nennt $a$ den Realteil $\mathfrak{R}e(z)$ der komplexen Zahl $z=a+i\,b$ und $b$ den Imaginärteil $\mathfrak{I}m(z)$ von $z$. Das multiplikative Inverse ist dabei durch $(a+ib)^{-1}=\frac1{a+ib}=\frac{a-ib}{(a+ib)\cdot (a-ib)} =\frac{a}{a^2+b^2}-i\frac{b}{a^2+b^2}$ gegeben. Formal einwandfreier können wir $\mathbb{C}$ auch mit $\mathbb{R}^2$, d.h. $a+i\,b$ mit dem dem Punkt $(a,b)$ in der Ebene mit kartesischen Koordinaten $a$ und $b$ identifizieren, und Addition und Multiplikation durch

$$(a,b)+(a',b') :=(a+a',b+b')$$

$$(a,b)\cdot (a',b') :=(a\,a'-b\,b', a\,b'+a'\,b)$$

definieren, und nun die Körperaxiome nachzuweisen. Um z.B. die Existenz multiplikativer Inverser zu zeigen, muß man zu gegebenen $(a,b)\ne(0,0)$ einen Punkt $(a',b')$ finden mit $(1,0)=(a',b')\cdot (a,b)=(a'\,a-b'\,b)+i(a'\,b+a\,b')$, also folgendes Gleichungssystem lösen:

$$a'\,a-b'\,b = 1$$

$$a'\,b+a\,b' =0$$

Für $b\ne 0$ ergibt sich aus der letzten Gleichung $a'=-\frac{a\,b'}{b}$ und durch Einsetzen in die erste $-\frac{a\,b'}{b}\,a-b'\,b=1$, also $b'=-\frac{b}{a^2+b^2}$ und somit $a'=\frac{a}{b}\,\frac{b}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}$. Für $b=0$ ist $a\ne 0$ und man erhält die selbe Lösung indem man zuerst $b'=-\frac{a'\,b}{a}$ errechnet.

Die Addition von komplexen Zahlen als Punkten in der Ebene entspricht somit der Addition der (Orts)vektoren. Also ist die Addition mit einer fixen komplexen Zahl $a+i\,b$ die Translation um den Vektor mit Koordinaten $(a.b)$.

Um auch die Multiplikation mit komplexen Zahlen geometrisch zu beschreiben benötigen wir Polarkoordinaten, d.h. wir legen Punkte nun durch den Abstand $r$ vom 0-Punkt und den Winkel $\varphi$ von der $x$-Achse zum Ortsvektor fest. Die kartesischen Koordinaten eines Punktes erhalten wird dann wie folgt aus den Polarkoordinaten:

$$x=r\,\cos(\varphi ),\; y=r\,\sin(\varphi )$$

Umgekehrt ist nach Pythagoras $r=\sqrt{x^2+y^2}$ und $\tan\varphi =\frac{y}{x}$ also $\varphi =\arctan(\frac{y}{x})$ falls $x>0$ und $\varphi =\operatorname{arccot}(\frac{x}{y})$ falls $y>0$ bzw. $\varphi =\pi+\arctan(\frac{y}{x})$ falls $x<0$ und $\varphi =\pi+\operatorname{arccot}{\frac{x}{y}}$ falls $y<0$. Beachte jedoch, daß der Winkel $\varphi$ für den 0-Vektor völlig willkürlich ist, und für andere Punkte auch nur bis auf Addition von $2\pi$ festgelegt ist.

Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl mit Polarkoordinaten $(r,\varphi )$ ist nun gerade die Drehstreckung um den Winkel $\varphi$ und den Streckungsfaktor $r$, d.h. Ein Punkt mit Polarkoordinaten $(r',\varphi ')$ wird durch Multiplikation mit $(r,\varphi )$ auf den Punkt mit Polarkoordinaten $(r\,r',\varphi +\varphi ')$ abgebildet.

Rechnet man obige Beschreibung der Multiplikation komplexer Zahlen von Polarkoordinaten auf kartesische Koordinaten um so erhält man:

$$r\,r'\,\cos(\varphi +\varphi ') =\mathfrak{R}e((x+i\,y)\,(x'+i\,y'))=x\,x'-y\,y'$$

$$= r\cos(\varphi )\,r'\cos(\varphi ') - r\sin(\varphi )\,r'\sin(\varphi ')$$

$$r\,r'\,\sin(\varphi +\varphi ') =\mathfrak{I}m((x+i\,y)\,(x'+i\,y'))=x\,y'+x'\,y$$

$$= r\cos(\varphi )\,r'\sin(\varphi ') + r\cos(\varphi ')\,r'\sin(\varphi )$$

Daraus ergeben sich nach Division durch $r\,r'$ die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus:

$$\cos(\varphi +\varphi ') = \cos(\varphi )\,\cos(\varphi ') - \sin(\varphi )\,\sin(\varphi ')$$

$$\sin(\varphi +\varphi ') = \cos(\varphi )\,\sin(\varphi ') + \cos(\varphi ')\,\sin(\varphi )$$

Der Körper $\mathbb{C}$ kann aber leider nicht mehr angeordnet werden, denn in jedem angeordneten Körper gilt $x^2\geq 0$ für alle $x$ und somit wäre $-1=i^2\geq 0$. Dann wäre aber $1\leq 0<1^2=1$ nach (2.6) ein Widerspruch.

7.7 Folgerung. Formel von Moivre.
Für $n\in\mathbb{N}$ und $\varphi \in\mathbb{R}$ ist $\Bigl(\cos(\varphi )+i\,\sin(\varphi )\Bigr)^n=\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi )$.

Beweis. Dies folgt sofort durch Induktion aus der Darstellung der Multiplikation in Polarkoordinaten.     []

7.8 Folgerung. Wurzeln komplexer Zahlen.
Es gibt genau $n$ $n$-te Wurzeln jeder komplexen Zahl $z=r(\cos\varphi +i\,\sin\varphi )\ne 0$ nämlich $\root n\of{r}(\cos(\frac{\varphi +2k\pi}n)+i\,\sin(\frac{\varphi +2k\pi}n))$ für $k=0,\dots,n-1$.

Beweis. Die Lösungen der Gleichung

$$r'(\cos(\varphi ')+i\sin(\varphi ')) =(r(\cos(\varphi )+i\,\sin(\varphi )))^n=r^n(\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ))$$

sind gerade durch $r'=r^n$ und $\varphi '-n\varphi \in 2\pi\mathbb{Z}$ gegeben, also durch $r=\root n\of{r'}$ und $\varphi =\frac{\varphi '+2\,k\,\pi}{n}$.     []

Z.B. erhält man die 3-ten Einheitswurzeln, d.h. komplexen Zahlen $z$ mit $z^3=1$ als

$$z_0 :=\cos(0)+i\,\sin(0)=1;$$

$$z_1 :=\cos(\frac{2\pi}3)+i\,\sin(\frac{2\pi}3)=-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}2;$$

$$z_2 :=\cos(\frac{4\pi}3)+i\,\sin(\frac{4\pi}3)=-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}2.$$

7.3 Lemma. Quadratische Gleichung.
Die (möglicherweise komplexen) Lösungen der quadratischen Gleichung

$$x^2+p\,x+q=0$$

mit $p,q\in\mathbb{C}$ sind

$$x = -\frac{p}2 \pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2 - q}.$$

Beweis. Wir können die Gleichung wie folgt umformen:

$$x^2+p\,x+q =0$$

$$\Leftrightarrow x^2+2\,x\,\frac{p}2 + \left(\frac{p}2\right)^2 - \left(\frac{p}2\right)^2 + q =0$$

$$\Leftrightarrow \left(x+\frac{p}2\right)^2 = \left(\frac{p}2\right)^2 - q$$

$$\Leftrightarrow x = -\frac{p}2 \pm \sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2 - q}$$

    []

7.4 Bemerkung.
Es gibt die Cardano'schen Formeln für Lösungen polynomiale Gleichungen 3. und 4. Ordnung.

Gleichungen höherer Ordnung lassen sich im Allgemeinen nicht mehr mittels Wurzelziehen auflösen. Jedoch gilt der

7.5 Fundamentalsatz der Algebra.
Jedes nicht-konstante Polynom $p\in\mathbb{C}[x]$ besitzt eine Nullstelle in $\mathbb{C}$. Man sagt dafür auch, $\mathbb{C}$ ist algebraisch abgeschlossen.

Ein Beweis wäre an dieser Stelle nur sehr aufwendig zu führen.

7.6 Folgerung. Zerlegung in linear-Faktoren.
Jedes Polynom $p:x\mapsto \sum_{j=0}^n p_j\,x^j$ in $\mathbb{C}[x]$ läßt sich wie folgt in linear-Faktoren zerlegen:

$$p(x)=p_n\cdot(x-x_1)\cdot\dots\cdot(x-x_n),$$

wobei $p_n$ der führende Koeffizient und $x_1,\dots,x_n$ die (algebraisch gezählten) Nullstellen von $p$ sind.

Beweis. Wir machen Induktion nach $n=\operatorname{Grad}(p)$. Nach dem Fundamentalsatz (7.5) existiert eine Nullstelle $x_1$ von $p$ und nach (4.13) ist $p(x)=(x-x_1)\cdot q(x)$ für ein Polynom $q$ vom Grad $n-1<n$ und höchsten Koeffizienten $q^{n-1}=p^n$. Nach Induktionsannahme ist $q(x)=q^{n-1}\prod_{i=1}^{n-1}(x-y_i)$, wobei $y_i$ die Nullstellen von $q$ und somit auch welche von $p$ sind.     []

Beispiel.
Es sei $p(z):=z^3-1$. Dann ist offensichtlich $z_0=1$ eine Nullstelle und somit können wir (mittels Hornerschema) $p(z)$ durch $z-1$ dividieren und erhalten $p(z)=(z-1)\cdot (z^2+z+1)$. Die Nullstellen von $z^2+z+1$ sind wegen (7.3) durch

$$z_{1,2} =-\frac12\pm \sqrt{\frac14-1} =-\frac12 \pm \sqrt{(-1)\left(\frac34\right)} =-\frac12 \pm i \frac{\sqrt{3}}2$$

gegeben, also ist

$$p(z)=(z-1)\Bigl(z+\frac12-i\frac{\sqrt{3}}2\Bigr)\Bigl(z+\frac12+i\frac{\sqrt{3}}2\Bigr),$$

in Übereinstimmung mit (7.8).

Bemerkung.
Komplexe Funktionen $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, wie z.B. Polynome $f\in\mathbb{C}[z]$, sind nach Definition Teilmengen von $\mathbb{C}\times \mathbb{C}=(\mathbb{R}\times \mathbb{R})\times (\mathbb{R}\times \mathbb{R})=\mathbb{R}^4$ und somit schwer zu visualisieren. Am besten ist wohl Definitionsbereich $\mathbb{C}$ und Wertebereich $\mathbb{C}$ getrennt zu zeichnen, und die Funkion $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ dadurch anzudeuten, daß man gewisse Linien (wie z.B. konzentrische Kreise und Halbstrahlen durch 0) im Definitionsbereich und deren Bilder unter $f$ im Wertebereich einzeichnet. Für die Funktion $z\mapsto z^2$ gibt dies z.B.

Es wird also die Ebene zweimal um den Nullpunkt herumgewickelt, und der Abstand der Punkte zum Nullpunkt dabei quadriert.

Diese Darstellung wird allerdings schnell kompliziert, denn z.B. für $z\mapsto z^2+z+1$ sieht sie so aus:

Eine andere Möglichkeit ist den Realteil $z\mapsto \mathfrak{R}e(f(z))$ und getrennt davon den Imaginärteil $z\mapsto \mathfrak{I}m(f(z))$ als Funktionen von $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}\to\mathbb{R}$ und somit als Gebirge über der Ebene zu zeichnen. Für $x+i\,y=z\mapsto z^2=(x^2-y^2)-i\,x\,y$ sieht das wie folgt aus:

Resumeé

Wir haben nun alle wichtigen Zahlenbereiche durchbesprochen. Es ist allerdings letztlich nicht so entscheidend was die Zahlen sind sondern was sie können, d.h. daß wir den vollständig angeordneten Körper $\mathbb{R}$ und den algebraische abgeschlossenen Körper $\mathbb{C}$ erhalten haben mit allen Konsequenzen die sich daraus ergeben. Somit können wir frei nach Wittgenstein ``die Leiter wegwerfen, nachdem wir mit ihrer Hilfe hinaufgestiegen sind''.

Wir sollten allerdings nicht alles von unterwegs vergessen, denn einerseits haben wir ``mathematics at work'' gesehen. Z.B. wie man durch Mengentheoretische Konstruktionen, Lösungen die von vornherein nicht existieren so beschreiben und auf ein gesichertes Fundament stellen kann, daß man wie gewünscht mit ihnen rechnen kann: Beim Übergang von $\mathbb{R}$ zu $\mathbb{C}$ waren die Elemente des kartesischen Produkts $\mathbb{R}^2$ also Paare, von $\mathbb{Q}$ zu $\mathbb{R}$ waren es Dedekind'sche Schnitte (also Elemente der Potenzmenge $\mathcal{P}(\mathbb{Q})$, von $\mathbb{Z}$ zu $\mathbb{Q}$ waren es Äquivalenzklassen von Paaren in $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ und von $\mathbb{N}$ zu $\mathbb{Z}$ Äquivalenzklassen von Paaren in $\mathbb{N}^2$. Gleichzeitig haben wir erkannt, daß Computer üblicherweise mit anderen Zahlen (nämlich Restklassen modulo $2$, $256$ oder ähnlichen) also in $\mathbb{Z}_m$ rechnen. Wir haben dabei auch kennengelernt, wie man mathematische Beweise führen kann, insbesonders die Methode des indirekten Beweises und der vollständigen Induktion. Weiters haben wir erste Einblicke in die Gebiete der Algebra (Gruppe, Ring, Körper, etc.), der Kombinatorik (Permutation, Variation, Kombination, etc.), der Zahlentheorie (Teilbarkeit, Primzahlen, ggT, etc.), der Wahrscheinlichkeitstheorie, dem Rechnen mit Polynomen erhalten sowie Verfahren (Algorithmen) wie man dies auch am Computer umsetzen kann.