12 Determinante

Wir wollen nun eine Methode behandeln, welche uns erlaubt die Invertierbarkeit einer linearen Abbildung festzustellen und auch Formeln für die Inverse liefert.

12.1 Bemerkung.
Wir haben in (10.27) gezeigt, daß eine Matrix $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ genau dann invertierbar ist, wenn $a\cdot d-b\cdot c$ es ist und die Inverse ist dann durch

$$\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}^{-1} =(a\cdot d-b\cdot c)^{-1} \begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$$

gegeben.

Der Ausdruck $a\cdot d-b\cdot c$ heißt Determinante von $A$ und wird mit $\det(A)$ bezeichnet. Die geometrische Bedeutung von $\det(A)$ ist gerade gelbe Fläche des Parallelogramms $0ACB$ in folgender Zeichnung,

den diese ergibt sich aus der Fläche $(a+b)\cdot (c+d)$ des Rechtecks $0A_0CB_0$ vermindert um die blaue Fläche $2\cdot b\cdot c$ der beiden Rechtecke $A_0A_2AA_1$ und $B_0B_1BB_2$ sowie die gemeinsame Fläche $a\cdot c$ der beiden roten Dreiecke $0A_1A$ und $CB_1B$ und die gemeinsame Fläche $b\cdot d$ der beiden grünen Dreiecke $0B_2B$ und $CA_2A$. Insgesamt also

$$(a+b)\cdot (c+d) - 2\cdot b\cdot c - a\cdot c - b\cdot d = a\cdot d - b\cdot c.$$

Daß das Nichtverschwinden dieser Fläche gerade die Invertierbarkeit der Matrix zur Folge hat, ist nun klar, denn dazu müssen gerade die Bilder $\binom{a}{c}$ und $\binom{b}{d}$ der standard-Einheitsvektoren linear unabhängig sein, also gerade nicht Vielfache voneinander sein und somit ein nicht-degeneriertes Parallelogramm erzeugen.

Die Determinante von $2\times 2$-Matrizen ist bilinear, denn

$$\begin{multline*} \det\begin{pmatrix}a+a' & b \\ c+c' & d\end{pmatrix} = (a+a')... ...end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}a' & b \\ c' & d\end{pmatrix} \end{multline*}$$

Geometrisch liegt das daran, daß wir im Parallelogrammen eine Seite unter Beibehaltung der Höhe verschieben dürfen. Wir können also o.B.d.A. annehmen, daß zwei Rechtecke vorliegen. Für diese ist diese Additionseigenschaft aber offensichtlich:

Wir versuchen dies nun auf höher-dimensionale $V=\mathbb{K}^n$ übertragen. Erstes Ziel dabei ist eine Funktion $D:V\times \dots \times V\to\mathbb{K}$ anzugeben die $n$ Vektoren $a_1,\dots,a_n$ das Volumen $D(a_1,\dots,a_n)$ des von Ihnen aufgespannten Parallelipipeds zuordnet. Solch eine Funktion müßte offensichtlich folgende Eigenschaften haben:

• Für $i\in\{1,\dots,n\}$ und $0\ne t\in\mathbb{K}$ gilt
  $$D(a_1,\dots,a_{i-1},t\,a_i,a_{i+1},\dots,a_n) =t\,D(a_1,\dots,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\dots,a_n),$$
  denn Streckung einer Seite um den Faktor $t$ schlägt sich in gleicher Weise auf das Volumen nieder.
• Für $i\ne j$ und $t\in\mathbb{K}$ ist
  $$D(a_1,\dots,a_{i-1},a_i+t\,a_j,a_{i+1},\dots,a_n) =t\,D(a_1,\dots,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\dots,a_n),$$
  denn wenn man eine der Seitenflächen bei gleichbleibender Höhe auf sie parallel verschiebt, dann ändert sich das Volumen nicht.

Man nennt eine Funktion $D\ne 0$ mit diesen beiden Eigenschaften eine Determinatenfunktion.

Jede Determinantenfunktion hat folgende weitere Eigenschaften:

• Sie ist alternierend, denn

  $$D(\dots,a_i,\dots,a_j,\dots) = D(\dots,a_i+a_j,\dots,a_j,\dots)$$

  $$= D(\dots,a_i+a_j,\dots,a_j-(a_i+a_j),\dots)$$

  $$= D(\dots,a_i+a_j-a_i,\dots,-a_i,\dots)$$

  $$= -D(\dots,a_j,\dots,a_i,\dots).$$

  
  

• Ist $a_i=a_j$ für zwei Indizes $i\ne j$, so ist $D(\dots,a_i,\dots,a_j,\dots)=0$, denn Vertauschen der beiden Variablen ändert nichts, muß aber andererseits ein negatives Vorzeichen produzieren.
• Falls $a_i=0$ für ein $i$ ist, so ist $D(a_1,\dots,a_n)=0$, denn dann ist für $j\ne i$

  $$D(\dots,a_j,\dots,a_i,\dots) =D(\dots,a_j,\dots,a_i+a_j,\dots)$$ (1)

  $$=D(\dots,a_j,\dots,a_j,\dots)=0.$$ (2)

  
  

• Falls $\{a_1,\dots,a_n\}$ linear abhängig ist, so ist $D(a_1,\dots,a_n)=0$, denn dann läßt sich ein $a_i$ als Linearkombination $a_i=\sum_{j\ne i}\lambda _j\,a_j$ schreiben und somit ist

  $$D(a_1,\dots,a_n) = D(\dots,a_{i-1},\sum_{j\ne i}\lambda _j\,a_j,a_{i+1},\dots)$$

  $$= D(\dots,a_{i-1},\sum_{j\ne i}\lambda _j\,a_j-\sum_{j\ne i}\lambda _j\,a_j,a_{i+1},\dots)$$

  $$= D(\dots,a_{i-1},0,a_{i+1},\dots) = 0.$$

  
  

• $D$ ist in jeder Variable linear, denn o.B.d.A. ist $\{a_1,\dots,a_{i-1},a_{i+1},\dots,a_n\}$ in der folgenden Rechnung linear unabhängig und somit durch ein $a_i$ zu einer Basis ergänzbar. Sei weiter $v=\sum_j \lambda _j\, a_j$ und $w=\sum_j \mu_j\,a_j$, dann ist

  $$D (\dots,a_{i-1},v+w,a_{i+1},\dots) =$$

  $$= D(\dots,a_{i-1},\sum_j (\lambda _j+\mu_j)\,a_j,a_{i+1},\dots)$$

  $$= D(\dots,a_{i-1},(\lambda _i+\mu_i)\,a_i,a_{i+1},\dots)$$

  $$= (\lambda _i+\mu_i)\,D(\dots,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\dots)$$

  $$= \lambda _i\,D(\dots,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\dots)+ \mu_i\,D(\dots,a_{i-1},a_i,a_{i+1},\dots)$$

  $$= D(\dots,a_{i-1},\lambda _i\,a_i,a_{i+1},\dots)+ D(\dots,a_{i-1},\mu_i\,a_i,a_{i+1},\dots)$$

  $$= D(\dots,a_{i-1},\sum_j\lambda _j\,a_j,a_{i+1},\dots)+D(\dots,a_{i-1},\sum_j\mu_j\,a_j,a_{i+1},\dots)$$

  $$= D(\dots,a_{i-1},v,a_{i+1},\dots)+ D(\dots,a_{i-1},w,a_{i+1},\dots)$$

  
  

12.2 Bemerkung.
Determinantenfunktionen sind im wesentlichen eindeutig, d.h. durch ihren Wert auf einer Basis eindeutig bestimmt.

Beweis. Es sei $(b_1,\dots,b_n)$ eine Basis und $a_1,\dots,a_n$ beliebige Vektoren in $V$, d.h. $a_i=\sum_{k=1}^n a_{k,i}b_k$. Dann ist

$$D(a_1,\dots,a_n) = D\Bigl(\sum_{j_1}a_{j_1,1}b_{j_1},\dots,\sum_{j_k}a_{j_k,k}b_{j_k}\Bigr)$$

$$= \sum_{j_1}\dots\sum_{j_k}a_{j_1,1}\dots a_{j_k,k}D(b_{j_1},\dots,b_{j_k})$$

$$= \sum_{j\in S_n} a_{j_1,1}\dots a_{j_k,k}\,\operatorname{sgn}(j)\,D(b_1,\dots,b_k)$$

$$= D(b_1,\dots,b_n)\, \sum_{j} \operatorname{sgn}(j)\, \prod_{i=1}^n a_{j_i,i},$$

denn falls $j:i\mapsto j_i$ nicht injektiv ist, so ist $D(b_{j_1},\dots,b_{j_k})=0$, also genügt es Permutationen $j$ zu betrachten. Für diese ist $D(b_{j_1},\dots,b_{j_k})=\operatorname{sgn}{j}\,D(b_1,\dots,b_)$. Somit ist $D$ durch diese Formel auf einer Basis bereits eindeutig festgelegt.     []

Bemerkung.
Es sei $D$ eine Determinatenfunktion und $\{b_1,\dots,b_n\}$ eine Basis. Wegen $D\ne 0$ existieren Vektoren $a_1,\dots,a_n$ mit $D(a_1,\dots,a_n)\ne 0$ und wegen der Formel im Beweis von (12.2) ist somit auch $D(b_1,\dots,b_n)\ne 0$.

Mittels Determinantenfunktion können wir lineare Unabhängigkeit erkennen:

12.3 Lemma.
Es sei $D:\mathbb{K}^n\times \dots\times \mathbb{K}^n\to \mathbb{K}$ eine Determinatenfunktion und $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{K}^n$. Dann ist $(a_1,\dots,a_n)$ genau dann linear abhängig, wenn $D(a_1,\dots,a_n)=0$.

Beweis. ( $\Rightarrow$) haben wir in (12.1) bereits gezeigt.

( $\Leftarrow$) Angenommen $(a_1,\dots,a_n)$ ist linear unabhängig, so ist $D(a_1,\dots,a_n)\ne 0$, denn $1=D(e_1,\dots,e_n)=D(a_1,\dots,a_n)\,\sum_{\pi}\operatorname{sgn}{\pi}\prod_{i=1}^n a_{\pi(i),i}$.     []

12.5 Definition.
Für eine Matrix $A=(a_{i,j})_{i,j=1}^n\in L_{\mathbb{K}}(n,n)$ definieren wir die Determinante durch die Leibniz-Formel als

$$\det(A):= \sum_{\sigma \in\mathcal{S}_n} \operatorname{sgn}(\sigma )\,\prod_{j=1}^n a_{\sigma (i),j}.$$

Wenn $a_1,\dots,a_n$ die Spalten einer Matrix $A$ sind, so setzen wir

$$\det(a_1,\dots,a_n):=\det(A).$$

Wir zeigen nun, daß dadurch eine Determinantenfunktion auf $(\mathbb{K}^n)^n\cong L_{\mathbb{K}}(n,n)$ gegeben ist.

12.4 Proposition.
Die Funktion $\det:(\mathbb{K}^n)^n\to \mathbb{K}$ ist eine Determinantenfunktion.

Beweis. Es ist $\det$ alternierend, denn wenn die Spalten $a_i$ und $a_j$ für $i\ne j$ ident sind, dann ist, da jede Permutation $\sigma$ entweder gerade oder zusammengesetzt mit der Transposition $(i,j)$ gerade:

$$\det(\dots,a_i,\dots,a_j,\dots) = \sum_{\sigma \in\mathcal{A}_n}\operatorname{sgn}(\sigma ) \dots\cdot a_{\sigma (i),i}\cdot\dots\cdot a_{\sigma (j),j}\cdot\dots$$

$$+ \sum_{\sigma \in\mathcal{A}_n}\operatorname{sgn}(\sigma \o (i,j)) \dots\cdot a_{\sigma (j),i}\cdot\dots\cdot a_{\sigma (i),j}\cdot\dots$$

$$= \sum_{\sigma \in\mathcal{A}_n}\operatorname{sgn}(\sigma ) \dots\cdot a_{\sigma (i),i}\cdot\dots\cdot a_{\sigma (j),j}\cdot\dots$$

$$- \sum_{\sigma \in\mathcal{A}_n}\operatorname{sgn}(\sigma ) \dots\cdot a_{\sigma (j),j}\cdot\dots\cdot a_{\sigma (i),i}\cdot\dots$$

$$=0$$

    []

12.6 Formeln für $n=2$ und $n=3$.
Es ist

$$\det\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} = a_{1,1} \cdot a_{2,2} - a_{1,2}\cdot a_{2,1},$$

wobei der 1.te Summand durch die Permutation $\operatorname{id}=(1)(2)$ und der 2.te durch die Transposition $(1,2)$ von $S_2=\{\operatorname{id},(1,2)\}$ beschrieben wird.

$$\det\begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} = a_{1,1} \cdot a_{2,2} \cdot a_{3,3} + a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1} + a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}$$

$$- a_{3,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{1,3} - a_{3,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{1,1} - a_{3,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{1,2}$$

Dabei entsprechen die 6 Summanden den Permutationen von

$$\mathcal{S}_6=\{\operatorname{id},(3,2,1),(1,2,3),(1,3),(2,3),(1,2)\}$$

Die Merkregel von Sarrus dafür ist, die ersten beiden Zeilen hinten nochmals anzufügen und dann die Produkte aller von links-oben nach rechts-unten verlaufenden Diagonalen aufzusummieren und jene der von links-unten nach rechts-oben laufenden Diagonalen abzuziehen:

$$\xymatrix{ a_{1,1}\ar@{-{}}[1,1] &a_{1,2}\ar@{... ...&a_{3,2}\ar@{-{}}[-1,1] &a_{3,3}\ar@{-{}}[-1,1] & a_{3,1} &a_{3,2} \\ }$$

Für $n=4$ gibt es keine so einfache Beschreibung mehr, denn dann sind bereits $4!=24$ Produkte aufzusummieren.

12.7 Beispiel.
Die Determinante einer Diagonalmatrix (d.h. $a_{i,j}=0$ für alle $i\ne j$) ist gerade das Produkt der Diagonalelemente, den nur für $\pi=\operatorname{id}$ ist $\prod_i a_{\pi(i),i}\ne 0$.

Allgemeiner ist die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gerade das Produkt der Diagonalelemente, den nur für $\pi=\operatorname{id}$ ist $\prod_j a_{\pi(j),j}\ne 0$. In der Tat sei $A$ z.B. eine obere Dreiecksmatrix, d.h. $a_{i,j}=0$ für alle $i>j$. Somit ist $\prod_j a_{\pi(j),j}= 0$ falls $\pi(j)>j$ für mindestens ein $j$ ist. Nur die Permutationen $\pi$ mit $\pi(j)\leq j$ für alle $j$ erfüllen $\prod_j a_{\pi(j),j}\ne 0$. Die einzige Permutation mit dieser Eigenschaft ist aber $\pi=\operatorname{id}$.

12.8 Multiplikationssatz.
Für $A,B\in L_\mathbb{K}(n,n)$ gilt $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)$.

Beweis. Es sei $A\in L_{\mathbb{K}}(n,n)$. Die Abbildung $D_A:L_{\mathbb{K}}(n,n)\to \mathbb{K}$ gegeben durch $D_A(b_1,\dots,b_n):=\det(A(b_1),\dots,A(b_n))$ ist offensichtlich eine Determinantenfunktion. Nach (12.2) ist

$$\det(A\cdot B) =D_A(b_1,\dots,b_n)$$

$$= D_A(e_1,\dots,e_n)\cdot \sum_{\sigma \in\mathcal{S}_n}\operatorname{sgn}(\sigma )\,\prod_{j} b_{\sigma (j),j}$$

$$= \det(A)\,\det(B).{\rm\quad[]}$$

Bemerkung.
Nach der einleitenden Motivation (12.2) ist $\det(B)$ gerade das $n$-dimensionale Volumen des von den Spalten $b_1,\dots,b_n$ von $B$ erzeugten Parallelipipeds $\Delta$, also vom Bild unter $B$ des Einheitsquaders (den von den Standardbasis $e_1,\dots,e_n$ erzeugten Parallelipipeds). Der Multiplikationssatz besagt nun gerade, daß das Volumen $\det(A\cdot B)$ des Bildes unter $A$ des von $b_1,\dots,b_n$ erzeugten Parallelipipeds $\Delta$ gerade das Volumen $\det(B)$ des Parallelipipeds $\Delta$ multipliziert mit $\det(A)$ ist. Somit mißt $\det(A)$ gerade das Verhältnis des Volumens des Bildes $A(\Delta )$ von Parallelipipeden $\Delta$ unter $A$ zu dem Volumen von $\Delta$. Dies stimmt nicht nur für Parallelipipede sondern für beliebige Körper $\Delta$ welchen man ein Volumen zuordnen kann.

Wir können nun die Determinante benutzen um Invertierbarkeit zu erkennen:

12.10 Proposition.
Es ist $A\in L_{\mathbb{K}}(n,n)$ genau dann invertierbar, wenn $\det(A)\ne 0$ ist.

Beweis. Nach (10.21) ist $A$ genau dann invertierbar, wenn die Spalten-Vektoren $a_1,\dots,a_n$ von $A$ linear unabhängig sind, dies ist nach (12.3) genau dann der Fall, wenn $\det(a_1,\dots,a_n)\ne 0$ ist.     []

12.11 Lemma.
Für invertierbares $A$ gilt $\det(A^{-1})=1/\det(A)$.

Beweis. Wegen dem Multiplikationssatz (12.8) ist die Determinante der inversen Matrix gerade der Kehrwert der Determinante, denn $1=\det(\operatorname{id})=\det(A^{-1}\cdot A)=\det(A^{-1})\cdot \det(A)$.     []

12.9 Bemerkung.
Für ein $A\in L(V,V)$ ist $\det(A)$ als $\det([A])$ für irgendeine Matrixdarstellung $[A]$ von $A$ definiert, d.h. als $\det([I^{-1}\o A\o I])$, wobei $I:\mathbb{K}^n\to V$ der durch eine Basis $B$ gegebene Isomorphismus ist aus (10.16). Ist $B'$ eine weitere Basis und $I'$ der entsprechende Isomorphismus, so ist mit $J:=I^{-1}\o I'$

$$\det([(I')^{-1}\o A\o I']) = \det([J^{-1}\o I^{-1}\o A\o I\o J])$$

$$= \det([J^{-1}]\cdot [I^{-1}\o A\o I]\cdot [J])$$

$$= \det([J])^{-1}\cdot \det([I^{-1}]\o A\o I])\cdot \det([J])$$

$$= \det([I^{-1}]\o A\o I].$$

Also hängt diese Definition von $\det(A)$ nicht von der Wahl der Basis.

12.12 Definition.
Die Transponierte einer Matrix $A=(a_{i,j})_{i,j}\in L_{\mathbb{K}}(n,m)$ ist die Matrix $A^t:=(a_{j,i})_{i,j}\in L_{\mathbb{K}}(m,n)$, die durch Spiegelung von $A$ an der Diagonale entsteht.

Offensichtlich ist $A^{tt}=A$, $(A+B)^t=A^t+B^t$ sowie $(A\cdot B)^t=B^t\cdot A^t$.

12.13 Lemma.
Für $A\in L_{\mathbb{K}}(n,n)$ gilt $\det(A^t)=\det(A)$.

Beweis.

$$\det(A) = \sum_\pi \operatorname{sgn}(\pi)\prod_j a_{\pi(j),j} = \sum_\pi \operatorname{sgn}(\pi)\prod_i a_{i,\pi^{-1}(i)}$$

$$= \sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma ^{-1})\prod_i a_{i,\sigma (i)} = \det(A^t),$$

da $\pi^{-1}$ die Gruppe $\mathcal{S}_n$ durchläuft, wenn $\pi$ sie durchläuft und da $\operatorname{sgn}(\sigma ^{-1})=\operatorname{sgn}(\sigma )$.     []

Unser nächstes Ziel ist nun eine Formel für die Inverse invertierbarer Matrizen $A$ zu entwickeln.

12.14 Definition.
Es sei $A=(a_{i,j})_{i,j}\in M_{n,n}(R)$ eine quadratische Matrix. Für $1\leq i,j\leq n$ versteht man unter dem $(i,j)$-ten algebraischen Komplement $a^{i,j}\in R$ von $A$ die Determinante $\det(a_1,\dots,a_{j-1},e_i,a_{j+1},\dots,a_n) =\det(a_1-a_{... ...{j-1}-a_{i,j-1}\,e_i, e_i,a_{j+1}-a_{i,j+1}\,e_i,\dots,a_n-a_{i,n}\,e_i)$, also die Determinante folgender Matrix

$$\begin{pmatrix}a_{1,1} & \dots & a_{1,j-1} & 0 & a_{1,j+1} & \dot... ... a_{n,1} & \dots & a_{n,j-1} & 0 & a_{n,j+1} & \dots & a_{n,n} \\ \end{pmatrix}$$

Tauscht man die $j$-te Spalte und $i$-te Zeile an die letzte Stelle, so ändert sich die Determinante um $(-1)^{2n-(i+j)}=(-1)^{i+j}$ und die entstandene Matrix hat die selbe Determinante wie jene Matrix $A_{i,j}$, die aus $A$ durch Streichung von $i$-ter Zeile und $j$-ter Spalte entsteht, denn nur Permutationen $\pi$ mit $\pi(n)=n$ liefern einen Beitrag.

Als Adjungierte $\operatorname{adj}(A)\in M_{n,n}(R)$ einer Matrix $A\in M_{n,n}(R)$ bezeichnet man nun jene Matrix die an der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte das $(j,i)$-te algebraische Komplement $a^{j,i}$ von $A$ hat (Beachte die Vertauschung der Indizes).

Beispiel.
Die Adjungierte einer $2\times 2$-Matrix ist somit wie folgt gegeben (vergleiche dies mit der Formel aus (10.27))

$$\operatorname{adj} \begin{pmatrix} a & b \\ c ... ...}\det(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

und für eine $3\times 3$-Matrix ergibt sich

$$\operatorname{adj} \begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} =$$

$$= \begin{pmatrix}(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}e & f \\ h & i \end... ...trix} & (-1)^{3+3}\det\begin{pmatrix}a & b \\ d & e \end{pmatrix} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}i\,e-f\,h & c\,h-b\,i & b\,f-c\,e \\ f\,g-d\,i & a\,i-c\,g & c\,d-a\,f \\ d\,h-e\,g & b\,g-a\,h & a\,e-b\,d \end{pmatrix}$$

12.15 Bemerkung.
Es seien $\de_{i,j}$ die Eintragungen der Matrix $[\operatorname{id}]$ der Identität $\operatorname{id}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n$, d.h. $\de_{i,i}:=1$ und $\de_{i,j}:=0$ für $i\ne j$. Man nennt dies das Kronecker-Delta. Dann ist

$$\de_{j,k}\,\det(A) = \det(a_1,\dots, a_{j-1},a_k,a_{j+1},\dots,a_n)$$

$$= \det\Bigl(a_1,\dots, a_{j-1},\sum_i a_{i,k}e_i,a_{j+1},\dots,a_n\Bigr)$$

$$= \sum_i a_{i,k} \det\bigl(a_1,\dots, a_{j-1},e_i,a_{j+1},\dots,a_n\bigr) = \sum_i a_{i,k} \cdot a^{i,j}$$

Insbesonders (für $k=j$) ist $\det(A)=\sum_i a_{i,j}\,a^{i,j}$, eine rekursive Formel für die Determinante, die sogenannte Laplace'sche Entwicklung nach der $j$-ten Spalte, denn $a^{i,j}$ sind Determinanten von $(n-1)\times (n-1)$-Matrizen. Wegen (12.13) gilt auch eine entsprechende Formel für die Entwicklung nach der $j$-ten Zeile.

Damit erhalten wir die erhoffte Formel für die Inverse einer Matrix:

12.16 Folgerung.
Für $A\in M_{n,n}(R)$ ist

$$\det(A)\,\operatorname{id}= \operatorname{adj}(A)\cdot A$$

und die Inverse einer invertierbaren Matrix $A$ ist durch

$$A^{-1} =\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$$

gegeben.

Vergleiche dies mit der Formel

$$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{a\,d-b\,c}\, \begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$$

aus (10.27).

Beweis. Die Gleichung $\de_{i,k}\,\det(A)=\sum_i a^{j,i}\cdot a_{j,k}$ aus (12.15) besagt, daß die der $(i,k)$-te Koeffizient der mit dem Skalar $\det(A)$ multiplizierten Einheitsmatrix gerade jener des Matrizen-Produkts der Adjungierten Matrix $\operatorname{adj}(A)$ mit $A$ ist.

Division durch $\det(A)$ zeigt, daß $\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$ eine links-Inverses ist. Offensichtlich ist $\operatorname{adj}(A^t)=\operatorname{adj}(A)^t$ und somit folgt durch Transponieren von $\operatorname{id}=\frac1{\det(A^t)}\operatorname{adj}(A^t)\,A^t=\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A)^t\,A^t$ die Identität $\operatorname{id}=A\,\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$, also ist $\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A)$ die Inverse von $A$.     []

Allgemeiner als in (12.3) können wir mittels Determinanten auch die lineare Abhängigkeit beliebig vieler Vektoren feststellen:

12.19 Folgerung.
Vektoren $a_1,\dots,a_k\in\mathbb{K}^n$ sind genau dann linear abhängig, wenn die Determinante jeder der $\binom{n}{k}$ vielen $k\times k$-Teilmatrizen der $n\times k$-Matrix $(a_1,\dots,a_k)$ gleich 0 ist.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Wenn $a_1,\dots,a_k$ linear abhängig ist und $1\leq i_1<\dots<i_k\leq n$ die Indizes von $k$-Zeilen sind, so ist auch $P(a_1),\dots,P(a_k)$ linear abhängig in $\mathbb{K}^k$, wobei $P:\mathbb{K}^n\to \mathbb{K}^k$ die Projektion $(x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_{i_1},\dots,x_{i_k})$ bezeichnet. Nach (12.3) bedeutet dies, daß $\det(P(a_1),\dots,P(a_k))=0$ ist. Dies ist aber gerade die Determinante der von den Zeilen $i_1,\dots,i_k$ gebildeten Teilmatrix.

( $\Leftarrow$) Indirekt. Angenommen $a_1,\dots,a_k$ ist linear unabhängig, obwohl alle Determinanten der $k\times k$-Teilmatrizen von $(a_1,\dots,a_k)$ gleich 0 sind. Nach (9.13) könne wir $a_1,\dots,a_k$ durch Hinzufügen von Vektoren $a_{k+1},\dots,a_n$ zu einer Basis ergänzen. Nach (12.3) ist damit $\det(a_1,\dots,a_n)\ne 0$. Laplace-Entwicklung nach den Spalten zeigt jedoch induktiv nach $k\leq j\leq n$, daß alle $j\times j$-Teilmatrizen von $a_1,\dots,a_j$ verschwindende Determinante besitzen, ein Widerspruch.     []

Beispiel.
(1) In manchen Fällen führt die Entwicklung nach einer Zeile oder einer Spalte schnell zur Berechnung einer Determinante. Betrachten wir etwa die Matrix

$$A=\begin{pmatrix}5 & 0 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 4 & 5\\ 4 & 0 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\in L_{\mathbb{Q}}(4,4).$$

Entwickeln nach der zweiten Spalte liefert

$$\det(A)=2\det\begin{pmatrix}5 & 3 & 2\\ 4 & 0 & 1\\ 6 & 1 & 3\end{pmatrix}.$$

Entwickelt man diese Determinante nach der zweiten Zeile, dann erhält man

$$\det(A)=-8\det\begin{pmatrix}3 & 2\\ 1 & 3\end... ...2\det\begin{pmatrix}5 & 3\\ 6 & 1\end{pmatrix}=-8\cdot 7+2\cdot 13=-30.$$

(2) In den meisten Fällen ist der beste Weg zur Berechnung einer Determinante die Anwendung von elementaren Zeilen- oder Spaltenoperationen. Betrachten wir als Beispiel die Matrix

$$A=\begin{pmatrix}\phantom{-}1 & \phantom{-}1 &... ...3 & \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & \phantom{-}5\phantom{-}\end{pmatrix}.$$

Subtrahieren wir von der dritten Zeile das doppelte der ersten, und von der vierten Zeile das dreifache der ersten, dann ändert das die Determinante nicht, also ist $\det(A)$ gleich der Determinante von

$$\begin{pmatrix} \phantom{-}1& \phantom{-}1 & -... ...tom{-}\\ \phantom{-}0 & -2 & \phantom{-}8 &-7\phantom{-}\end{pmatrix}.$$

Addieren wir nun zur dritten Zeile das dreifache der zweiten und zur vierten Zeile das doppelte der zweiten, dann ändert das die Determinante wieder nicht, und wir erhalten die Matrix

$$\begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}1 & ... ...m{-} \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & 10 & -1\phantom{-}\end{pmatrix}.$$

Subtrahieren wir nun noch von der vierten Zeile $\tfrac{10}{8}$ mal die dritte Zeile, dann wird diese Zeile zu $(0,0,0,-\tfrac{18}{8})$, und die entstehende Matrix hat immer noch die selbe Determinante wie $A$. Nun haben wir aber eine obere Dreiecksmatrix vor uns, und nach (12.7) erhalten wir $\det(A)=-18$.

Auch die Lösungen linearer Gleichungen können wir - sofern diese eindeutig sind - mittels Determinanten berechnen:

12.17 Cramer'sche Regel.
Falls $A$ invertierbar ist, so ist die Lösung von $A(x)=y$ durch

$$x_k=\frac{\det(a_1,\dots,a_{k-1},y,a_{k+1},\dots,a_n)}{\det A}$$

gegeben.

Beweis. Die Gleichung $Ax=y$ bedeutet $y=\sum_k x_k\,a_k$. Somit ist

$$\det(a_1,\dots,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots,a_n) =\det(a_1,\dots,a_{j-1},\sum_k x_k\,a_k,a_{j+1},\dots,a_n)$$

$$= x_j\,\det(a_1,\dots,a_n).$$

Wenn $\det(A)$ invertierbar ist, dann ist $A$ invertierbar nach (6.22) und somit existiert eine eindeutige Lösung $x$ von $A(x)=y$. Nach dem ersten Teil erfüllt diese $\det(A)\,x_j = \det(a_1,\dots,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots,a_n)$, also folgt

$$x_j=\frac{\det(a_1,\dots,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots,a_n)}{\det(A)}.$$

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12.18 Bemerkung.
Für die praktische Lösung von linearen Gleichungssystemen ist die Cramer'sche Regel nicht besonders gut geeignet, weil die Berechnung der vielen Determinanten zu aufwendig ist. Daher lösen Computerprogramme lineare Gleichungssysteme nicht mit dieser Methode. Um das zu sehen, bestimmen wir, wie viele Rechenoperationen zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit $n$ Gleichungen in $n$ Unbekannten über einem Körper nötig sind. Wir werden uns dabei auf die Multiplikationen und Divisionen beschränken (die mehr Rechenaufwand benötigen) und Additionen, Subtraktionen und Vertauschungen von Zeilen oder Spalten außer Acht lassen. Die Determinante einer $n\times n$-Matrix besteht aus $\vert S_n\vert=n!$ vielen Summanden, von denen jeder ein Produkt von $n$ Zahlen ist. Man benötigt also $n!(n-1)$ Multiplikationen. Um ein $n\times n$-Gleichungssystem nach der Cramer'schen Regel zu berechnen, muß man $n+1$ Determinanten von $n\times n$-Matrizen berechnen, benötigt als $(n+1)n!(n-1)=(n+1)!(n-1)$ Multiplikationen. Anschließend braucht man noch $n$ Divisionen, was aber kaum mehr ins Gewicht fällt. Berechnet man das explizit, dann braucht man für ein $3\times 3$-System $48$ Multiplikationen, ein $4\times 4$-System benötigt $360$ Multiplikationen, für $5\times 5$-Systeme sind $2880$ Multiplikationen nötig und bei einem $10\times 10$-System sind es schon $359251200$ Multiplikationen.

Versuchen wir auf ähnliche Weise den Gauß'schen Algorithmus zu analysieren, dann müssen wir nur bedenken, daß man nach Satz (4.9) jede invertierbare $n\times n$-Matrix (der einzige Fall in dem die Cramer'sche Regel funktioniert) durch elementare Zeilenoperationen in die Einheitsmatrix umgewandelt werden kann, was genau äquivalent zur Lösung des Systems ist. Betrachten wir also die erweiterte Matrix $(A,b)$ des Systems. Da wir Vertauschungen von Zeilen ignorieren, dürfen wir annehmen, daß die erste Zeile von $A$ mit einem Element ungleich Null beginnt. Mit $n$-Divisionen erreichten wir, daß die erste Zeile mit $1$ beginnt. Um in den weiteren $n-1$ vielen Zeilen das Element in der ersten Spalte zu Null zu machen, benötigen wir pro Zeile $n$-Multiplikationen. Somit sind wir mit $n$-Divisionen und $(n-1)n$ Multiplikationen so weit, daß in der ersten Spalte der erweiterten Matrix der erste Einheitsvektor $e_1$ steht. Damit das zweite Element der zweiten Zeile gleich Eins ist, brauchen wir $(n-1)$ Divisionen, und mit $(n-1)(n-1)$ Multiplikationen erreichen wir, daß in der zweiten Spalte der zweite Einheitsvektor $e_2$ steht. Induktiv sehen wir, daß wir $n+(n-1)+\dots+2+1=\tfrac{1}{2}n(n+1)$ Divisionen und $(n-1)(n+(n-1)+\dots+1)=\tfrac{1}{2}n(n+1)(n-1)$ Multiplikationen benötigen, und ein $n\times n$-Gleichungssystem mit dem Gauß'schen Algorithmus zu lösen. Für ein $3\times 3$-System sind das $6$ Divisionen und $12$ Multiplikationen, bei einem $4\times 4$-System $10$ Divisionen und $30$ Multiplikationen und bei einem $5\times 5$-System $15$ Divisionen und $60$ Multiplikationen. Bei einem $10\times 10$-System erhält man die moderate Zahl von $55$ Divisionen und $495$ Multiplikationen.