10 Lineare Abbildungen und Matrizen

Um nun lineare Vektorräume mit einander in Beziehung setzen zu können, benötigen derartige Abbildungen zwischen diesen, die uns erlauben die Rechnungen die wir für die Vektoren eines Vektorraums durchgeführt haben entsprechend auf die Bilder dieser Vektoren in einen anderen Vektorraum zu übertragen.

10.1 Definition.
Unter einer linearen Abbildung (man sagt auch Homomorphismus oder kurz Morphismus dafür) zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ versteht man eine Abbildung $A:V\to W$ die folgendes erfüllt

• $A(v+v')=A(v)+A(v')\forall v,v'\in V$;
• $A(\lambda \,v)=\lambda \,A(v)\forall v\in V,\lambda \in\mathbb{K}$.

        

Es ist also egal ob man zuerst addiert bzw. skalarmultipliziert und dann die Abbildung $A$ anwendet oder umgekehrt vorgeht.

10.2 Beispiele.

• Für $a\in\mathbb{K}$ ist $x\mapsto a\,x$ eine lineare Abbildung $V\to V$ für jeden Vektorraum $V$ über $\mathbb{K}$.
• Für $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{K}$ ist $(x_1,\dots,x_n)\mapsto \sum_{i=1}^n a_i x_i$ eine lineare Abbildung $\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}$ oder $V^n\to V$ für jeden Vektorraum $V$ über $\mathbb{K}$.
• Für $i\in\{1,\dots,m\}$ und $j\in\{1,\dots,n\}$ seien Zahlen $a_{i,j}\in\mathbb{K}$ (also eine $m\times n$-Matrix) gegeben. Dann definiert

  $$\mathbb{R}^n\ni\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \... ...{1,k}\,x_k \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^n a_{m,k}\,k_k \end{pmatrix} \in\mathbb{R}^m$$

  
  
  eine lineare Abbildung $\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m$.
• Das Differenzieren $D:\sum_{k\geq 0} \lambda _k\, x^k\mapsto \sum_{k\geq 1} \lambda _k\,k\,x^{k-1}$ definiert eine lineare Abbildung $\mathbb{K}[x]\to\mathbb{K}[x]$ am Raum der Polynome.
• Für fixes $x\in X$ ist die Auswertung $\operatorname{ev}_x:\mathbb{K}^X\ni f\mapsto f(x)\in\mathbb{K}$ eine lineare Abbildung $\mathbb{K}^X\to\mathbb{K}$, denn es ist $\operatorname{ev}_x(f+\lambda \,g)=(f+\lambda \,g)(x)=f(x)+\lambda \,g(x)=\operatorname{ev}_x(f)+\lambda \,\operatorname{ev}_x(g)$. Dies ist gerade die Definition der Summe und des Produkts von Funktionen.
• Jede Abbildung $f:I\to J$ induziert eine lineare Abbildung $f^*:\mathbb{K}^J\to\mathbb{K}^I$ gegeben durch Zusammensetzen von rechts $f^*(g):=g\o f$.
  Beweis. Es ist
  $$f^*(g+\lambda \,h)=(g+\lambda \,h)\o f=g\o f+\lambda \,h\o f=f^*(g)+\lambda \,f^*(h).$$
      []

10.3 Definition.
Wie bei allgemeinen Abbildungen spielt natürlich auch bei linearen Abbildungen die Injektivität, die Surjektivität und vor allem die Bijektivität ein große Rolle. Man nennt eine Abbildung $A:V\to W$ zwischen Vektorräumen

• Monomorphismus, wenn $A$ linear und injektiv ist;
• Epimorphismus, wenn $A$ linear und surjektiv ist;
• Isomorphismus, wenn $A$ linear und bijektiv ist.

Falls $A$ ein Isomorphismus ist, so ist auch die Umkehrabbildung $A^{-1}$ linear, denn sei $w,w'\in W$ und $\lambda \in\mathbb{K}$. Es sei $v:=A^{-1}(w)$ und $v'=A^{-1}(w')$. Dann ist $A(v+\lambda \,v')=A(v)+\lambda \,A(v')=w+\lambda \, w'$ und somit $A^{-1}(w)+\lambda \, A^{-1}(w')=v+\lambda \,v'=A^{-1}(A(v+\lambda \,v'))=A^{-1}(w+\lambda \,w')$.

10.4 Lemma.
Es sei $A:V\to W$ linear. Dann ist der Kern $\operatorname{Ker}(A):=\{x\in V:A(x)=0\}$ von $A$ ein Teilvektorraum von $V$.

Dies zeigt wegen (10.2) nochmals 8.7 und 8.9.

Beweis. Seien $v,v'\in\operatorname{Ker}(A)$ und $\lambda \in\mathbb{K}$. Dann ist $A(v+\lambda \,v')=A(v)+\lambda \,A(v')=0$, also auch $v+\lambda \,v'\in \operatorname{Ker}(A)$.     []

10.5 Lemma.
Eine lineare Abbildung $A:V\to W$ ist genau dann injektiv, wenn $\operatorname{Ker}(A)=\{0\}$ ist.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Es sei $v\in\operatorname{Ker}(A)$, also $A(v)=0=A(0)$. Falls $A$ injektiv ist, so folgt daraus $v=0$, also $\operatorname{Ker}(A)\subseteq \{0\}$. Die andere Inklusion ist trivial.

( $\Leftarrow$) Es sei $\operatorname{Ker}(A)=\{0\}$ und $A(v)=A(v')$. Dann ist $A(v-v')=A(v)-A(v')=0$ und somit $v-v'\in\operatorname{Ker}(A)=\{0\}$, also $v=v'$. D.h. $A$ ist injektiv.     []

10.6 Lemma.
Es sei $A:V\to W$ linear. Dann ist das Bild $\operatorname{Bild}(A):=\{A(x):x\in V\}$ von $A$ ein Teilvektorraum von $W$.

Beweis. Es sei $w,w'\in \operatorname{Bild}(A)$ und $\lambda \in\mathbb{K}$. D.h. es existieren $v,v'\in V$ mit $A(v)=w$ und $A(v')=w'$. Dann gilt $\operatorname{Bild}(A)\ni A(v+\lambda \,v')=A(v)+\lambda \,A(v')=w+\lambda \,w'$, also ist $\operatorname{Bild}(A)$ ein Teilvektorraum.     []

Die folgende Proposition zeigt, daß es genügt eine lineare Abbildung $f:V\to W$ an nur sehr wenigen Stellen $b\in V$ zu kennen, um sie an allen Vektoren $v\in V$ berechnen zu können.

10.7 Proposition.
Es sei $B$ eine Basis des Vektorraums $V$ und $f:B\to W$ eine Abbildung in einen Vektorraum $W$. Dann existiert eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $\tilde f:V\to W$ mit den vorgegebenen Werten $f(b)$ auf den Basis-Vektoren $b\in B$, d.h. mit $\tilde f\vert _B=f$.

Beweis. Da $B$ eine Basis ist, besitzt jedes $v\in V$ eine eindeutig bestimmte Darstellung $v=\sum_{b\in B}\lambda _b\, b$ mit Koeffizienten $\lambda _b\in\mathbb{K}$. Es sei $\tilde f:V\to W$ wie gefordert, dann ist

$$\tilde f(v) =\tilde f\Bigl(\sum_{b\in B}\lambd... ... =\sum_{b\in B}\lambda _b\, \tilde f(b) =\sum_{b\in B}\lambda _b\, f(b)$$

und somit eindeutig durch $f$ bestimmt. Umgekehrt definiert diese Formel eine lineare Abbildung $\tilde f:V\to W$, denn für $v=\sum_{b\in B}\lambda _b\, b$ und $w=\sum_{b\in B}\mu_b\, b$ und $\rho \in\mathbb{K}$ ist $v+\rho \,w=\sum_{b\in B}(\lambda _b+\rho \,\mu_b)\, b$ und somit

$$\tilde f(v+\rho \, w) =\sum_{b\in B} (\lambda _b+\rho \,\mu_b)\,f(b)$$

$$=\sum_{b\in B}\lambda _b\,f(b)+\rho \,\sum_{b\in B}\mu_b\, f(b) =\tilde f(v)+\rho \,\tilde f(w)$$

    []

10.16 Proposition.
Es sei eine lineare Abbildung $I:\mathbb{K}^n\to V$ gegeben und $B=(v_1,\dots,v_n)$ die Bilder $v_i:=I(e_i)$ der Standard-Basis. Dann gilt:

• $I$ ist Monomorphismus $\Leftrightarrow$ $B$ ist linear unabhängig.
• $I$ ist Epimorphismus $\Leftrightarrow$ $B$ ist ein Erzeugenden-System.
• $I$ ist Isomorphismus $\Leftrightarrow$ $B$ ist eine Basis.

Im letzteren Fall bezeichnen wir die Inverse zu $I$ mit $x\mapsto [x]_{B}:=(x_1,\dots,x_n)$, und nennen $[x]_B$ die Koordinaten(darstellung) von $x\in V$ bzgl. der Basis $B$.

Beweis. Die Abbildung $I$ ist nach (10.7) durch $(x_1,\dots,x_n)\mapsto\sum_{k=1}^n x_kv_k$ gegeben. Ist ist offensichtlich genau dann surjektiv, wenn $B=\{v_1,\dots,v_n\}$ ein Erzeugenden-System ist. Sie ist injektiv, genau dann wenn ihr Kern $\{0\}$ ist, d.h. $\sum_k x_kv_k=0$ die Aussage $x_k=0\forall k$ zur Folge hat, also wenn $B$ linear unabhängig ist. Somit ist die Abbildung genau dann ein Isomorphismus, wenn $B$ eine Basis ist.     []

Etwas allgemeiner gilt folgendes:

10.8 Proposition.
Es sei $f:V\to W$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen.

1.

$f$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ für ein/jedes Erzeugenden-System $B$ von $V$ ist $f(B)$ eines von $W$.

2.

$f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ für jede linear unabhängige Menge $B$ von $V$ ist $f(B)$ linear unabhängig in $W$.

3.

$f$ ist bijektiv $\Leftrightarrow$ für jede Basis $B$ von $V$ ist $f(B)$ eine Basis von $W$.

Beweis. (1) ist klar, da $\langle f(B)\rangle=f(\langle B\rangle)=f(V)$.

(2) Es sei $f$ injektiv und $B\subseteq V$ linear unabhängig mit $0=\sum_{y\in f(B)}\lambda _y\,y$. Da $f$ injektiv ist existiert zu jedem $y\in f(B)$ ein eindeutiges $x\in B$ mit $f(x)=y$. Somit ist $0=\sum_{x\in B}\lambda _{f(x)}\,f(x)=f(\sum_{x\in B}\lambda _{f(x)}\,x)$. Da $f$ injektiv ist, ist also $\sum_{x\in B}\lambda _{f(x)}\,x=0$ und, da $B$ linear unabhängig ist, ist $\lambda _{f(x)}=0$ für alle $x\in X$, also $\lambda _y=0$ für alle $y\in f(X)$, d.h. $f(B)$ ist linear unabhängig.

Falls $f$ nicht injektiv ist, so existiert ein $v\ne 0$ mit $f(v)=0$, also ist $\{v\}$ linear unabhängig aber $\{f(v)\}=\{0\}$ linear abhängig.

(3) Ist $f$ bijektiv und $B$ eine Basis, dann ist $f(B)$ eine Basis nach (1) und (2). Umgekehrt sei das Bild jeder Basis eine Basis. Dann ist $f$ surjektiv nach (1) aber auch injektiv nach (2), denn sei $A\subseteq V$ linear unabhängig. Dann existiert nach (9.13.2) eine Basis $B\supseteq A$. Somit ist nach Voraussetzung auch $f(B)$ eine Basis, also linear unabhängig und ebenso die Teilmenge $f(A)\subseteq f(B)$.     []

Beachte, daß es in (2) und (3) nicht genügt für ein $B$ die Aussage zu haben. Denn es ist $\sum:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $(x,y)\mapsto x+y$ nicht injektiv, dennoch ist $B:=\{e_1,e_2\}$ eine Basis in $\mathbb{R}^2$ und $f(B)=\{1\}$ eine solche von $\mathbb{R}$.

10.9 Folgerung.
Es seien $V$ und $V'$ Vektorräume. Dann gilt:

1. $\exists f:V\to V'$ injektiv und linear $\Leftrightarrow$ $\dim(V)\leq \dim(V')$.
2. $\exists f:V\to V'$ surjektiv und linear $\Leftrightarrow$ $\dim(V)\geq \dim(V')$.
3. $\exists f:V\to V'$ bijektiv und linear $\Leftrightarrow$ $\dim(V)=\dim(V')$.

Insbesonders ist jeder Vektorraum über $\mathbb{K}$ isomorph zum Raum $\mathbb{K}^{(\dim V)}:=\{x\in\mathbb{K}^{\dim V}:x(i)=0$ für fast alle $i\}$.

Beweis. Sei $B$ eine Basis von $V$.

(1) Falls $f$ injektiv ist, so ist $f(B)$ linear unabhängig, also $\dim(V)=\vert B\vert=\vert f(B)\vert\leq \dim(V')$ nach (9.13.4). Umgekehrt sei $B'$ eine Basis von $V'$ mit $\vert B'\vert=\dim(V')\geq \dim(V)\geq \vert B\vert$, d.h. es existiert eine injektive Abbildung $f: B\to B'$. Wir erweitern diese nach (10.7) zu einer linearen Abbildung $\tilde f:V\to V'$. Diese ist injektiv, denn aus $0=\tilde f(\sum_{b\in B}\lambda _b\, b)=\sum_{b\in B}\lambda _b f(b)= \sum_{b'\in B'}\mu_{b'}\,b'$, wobei $\mu_{f(b)}=\lambda _b$ und $\mu_{b'}=0$ falls $b'\in B'\setminus f(B)$ ist. Da $B'$ eine Basis ist sind alle $\mu$ und damit alle $\lambda$ gleich 0.

(2) Falls $f$ surjektiv ist, so ist $f(B)$ ein Erzeugenden-System, also $\dim(V)=\vert B\vert\geq \dim(V')$ nach (9.13.5). Umgekehrt sei $B'$ eine Basis von $V'$ mit $\vert B'\vert=\dim(V')\leq \dim(V)= \vert B\vert$, d.h. es existiert eine surjektive Abbildung $f: B\to B'$ (eine Inverse zur injektiven Abbildung $B\hookrightarrow B'$). Wir erweitern diese nach (10.7) zu einer linearen Abbildung $\tilde f:V\to V'$. Diese ist surjektiv, denn jeder Erzeuger $b'\in B'$ wird von $f$ und damit auch von $\tilde f$ getroffen.

(3) folgt nun aus (1) und (2). Falls $B$ und $B'$ gleichmächtig sind, so existiert eine bijektive Abbildung $f: B\to B'$ und diese induziert wie in (1) und (2) einen linearen Isomorphismus.

Beachte, daß die Funktionen $e^x:=\chi _{\{x\}}\in\mathbb{K}^{(X)}$ eine Basis bilden: Erzeugenden-System ist klar und aus $0=\sum_{x\in X}\lambda _x\,e^x$ folgt $0=0(y)=(\sum_{x\in X}\lambda _x\,e^x)(y)=\sum_{x\in X}\lambda _x\,\de_{x,y}=\lambda _y$ für alle $y\in X$.     []

10.15 Folgerung.
Isomorphe (endlich dimensionale) Vektorräume haben die selbe Dimension und umgekehrt.

Beweis. $(\Rightarrow)$ Isomorphismen bewahren nach (10.8) Basen.

$(\Leftarrow)$ Nach (10.16) ist $V\cong \mathbb{K}^{\dim(V)}=\mathbb{K}^{\dim(V')}\cong V'$.     []

10.10 Lemma.
Es sei $W\subseteq V$ ein linearer Teilraum eines Vektorraums $V$. Wir betrachten die Äquivalenzrelation die durch $v\sim v':\Leftrightarrow v-v'\in W$ gegeben ist. Die von $v\in V$ erzeugte Äquivalenzklasse ist $[v]_{\sim}=v+W=\{v+w:w\in W\}$. Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit $V/W:=V/{\sim}$ bezeichnet. Schließlich sei $\pi:V\to V/W$ die Abbildung $v\mapsto v+W$. Dann existieren eindeutig bestimmte Operationen $+:V/W\times V/W\to V/W$ und $\cdot :\mathbb{K}\times V/W\to V/W$ die $V/W$ zu einem Vektorraum und $\pi:V\to V/W$ zu einer linearen Abbildung machen.

Beweis. Damit $\pi$ eine lineare Abbildung ist, müssen wir die Operationen wie folgt definieren:

$$[v]_{\sim} + [v']_{\sim} := [v+v']_{\sim}$$

$$\lambda \cdot [v]_{\sim} := [\lambda \cdot v]_{\sim}$$

Es ist nun eine einfache Rechnung, daß $V/W$ damit zu einen Vektorraum über $\mathbb{K}$ und $\pi$ linear wird.     []

10.11 Proposition.
Es sei $W\subseteq V$ ein linearer Teilraum eines Vektorraums. Dann gilt:

1. $\dim(W)\leq\dim(V)$
2. $\dim(W)=\dim(V)<{\infty}$ $\Leftrightarrow$ $W=V$
3. $\dim(V)=\dim(V/W)+\dim(W)$

Beweis. (1) Die Inklusion ist eine injektive lineare Abbildung $W\to V$, also $\dim(W)\leq \dim(V)$ nach (10.9).

(2) Sei $B$ eine Basis von $W$, also linear unabhängig in $V$ und wegen $\vert B\vert=\dim(W)=\dim(V)$ auch eine Basis von $V$ nach (9.13.2) und damit $V=\langle B\rangle =W$.

(3) Sei $B$ eine Basis von $W$, also linear unabhängig in $V$ und somit nach (9.13.2) zu einer Basis $B'$ von $V$ erweiterbar. Dann ist $\pi(B'\setminus B)$ eine Basis von $V/W$, denn da die kanonische Abbildung $\pi:V\to V/W$, $v\mapsto [v]:=v+W$, surjektiv ist, ist $\pi( B')=\pi( B)\cup \pi( B'\setminus B)= \{0\}\cup \pi( B'\setminus B)$ ein Erzeugenden-System nach (10.8.1), also auch $\pi(B'\setminus B)$ eines. Es ist $\pi(B'\setminus B)$ auch linear unabhängig, denn aus $0=\sum_{b'\in B'\setminus B}\lambda _{b'}\,\pi(b') =\pi(\sum_{b'\in B'\setminus B}\lambda _{b'}\,b')$ folgt $\sum_{b'\in B'\setminus B}\lambda _{b'}\,b'\in\operatorname{Ker}(\pi)=W=\langle B\rangle$, also existieren $\lambda _b$ für alle $b\in B$ mit $\sum_{b'\in B'\setminus B}\lambda _{b'}\,b'=\sum_{b\in B}\lambda _{b}\,b$ und da $B'$ linear unabhängig ist, sind alle $\lambda$ gleich 0. Aso ist $\dim(W)=\vert B\vert$, $\dim(V)=\vert B'\vert=\vert B'\vert+\vert B'\setminus B\vert$ und $\dim(V/W)=\vert\pi(B'\setminus B)\vert=\vert B'\setminus B\vert$.     []

10.12 Proposition.
Es seien $W_1$ und $W_2$ zwei lineare Teilräume von $V$. Dann induziert die Inklusion $W\hookrightarrow W+W'$ einen Isomorphismus $W/(W\cap W')\cong (W+W')/W'$. Insbesonders ist $\dim(W+W')+\dim(W\cap W')=\dim(W)+\dim(W')$

Beweis. Betrachte das Diagramm

$$\xymatrix{ W'\ar@{->}[0,1] &W+W'\ar@{->}[0,1] ... ...[0,1] &W\ar@{->}[0,1] \ar@{->}[-1,0] & W/(W\cap W')\ar@{.>}[-1,0] \\ }$$

Die induzierte Abbildung existiert, da $W'\supseteq W\cap W'$. Sie ist surjektiv, denn sei $v\in W+W'$, d.h. $v=w+w'$ und somit ist $v+W'=w+W'$ das Bild von $w+(W\cap W')$. Sie ist auch injektiv, denn aus $w+W'=W'$ mit $w\in W$ folgt $w\in W'\cap W$, also $w+(W'\cap W)=W'\cap W$.     []

10.13 Proposition.
Es seien $W$ und $W'$ Teilräume von $V$. Dann sind äquivalent:

1. $V=W\oplus W'$, d.h. $V=W+W'$ und $W\cap W'=\{0\}$;
2. $\forall v\in V\exists! w\in W,w'\in W':v=w+w'$;
3. $\pi\vert _{W'}:W'\to V/W$ ist ein Isomorphismus.

Ist $V$ endlich dimensional, so ist dies weiter äquivalent zu

4.

$W\cap W'=\{0\}$ und $\dim(V)=\dim(W)+\dim(W')$.

Beweis. (1 $\Rightarrow$3) Da $W\cap W'=\{0\}$ ist, ist $\pi:W'\to W'/W\cap W'$ ein Isomorphismus und nach (10.12) ist $W'/W\cap W'\to (W+W')/W=V/W$ ebenfalls einer, also auch die Zusammensetzung $W'\to V/W$.

(3 $\Rightarrow$2) Sei $v\in V$. Wegen der Surjektivität von $W'\to V/W$ existiert ein $w'\in W'$ mit $w'+W=v+W$, also ist $w:=v-w'\in W$ und somit $v=w+w'$. Angenommen $v=u+u'$ ist eine zweite Darstellung. Dann ist $w'+W=u'+W$ und somit $w'=u'$ wegen der Injektivität von $W'\to V/W$ und damit auch $w=u$.

(2 $\Rightarrow$1) Offensichtlich ist $W+W'=V$ wegen $v=w+w'$. Sei $v\in W\cap W'$, dann sind $v=v+0$ und $v=0+v$ zwei Darstellungen, also $v=0$.

(1,3 $\Rightarrow$4) Aus $W'\cong V/W$ folgt $\dim(V)=\dim(W)+\dim(V/W)=\dim(W)+\dim(W')$ und $W\cap W'=\{0\}$ nach (1).

(4 $\Rightarrow$3) Aus $W\cap W'=\{0\}$ folgt die Injektivität von $\pi\vert _{W'}$. Wegen $\dim(W')=\dim(V)-\dim(W)=\dim(V/W)$ folgt auch die Surjektivität.     []

10.14 Proposition.
Es sei $A:V\to W$ linear. Dann induziert $A$ einen Isomorphismus $V/\operatorname{Ker}(A)\to\operatorname{Bild}(A)$.

Folglich ist $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}(A))+\dim(\operatorname{Bild(A)})$.

Beweis. Offensichtlich ist $A(x)=A(x')$ $\Leftrightarrow$ $x-x'\in\operatorname{Ker}$. Die dadurch induzierte Äquivalenzrelation $\sim$ (vermöge $x\sim x'\Leftrightarrow A(x)=A(x')$) hat also gerade $V/\operatorname{Ker}(A)$ als Äquivalenzklassen, d.h. $V/\operatorname{Ker}(A)=V/{\sim}$. Andererseits induziert jede Abbildung $A:V\to W$ eine Bijektion $\tilde A:V/{\sim}\to A(V)$ vermöge $\tilde A([x]_{\sim}):=A(x)$: Wohldefiniertheit und Surjektivität ist offensichtlich. Injektivität folgt, da $\tilde A([x])=\tilde A([x'])$ $\Leftrightarrow$ $A(x)=A(x')$ $\Leftrightarrow$ $x\sim x'$ $\Leftrightarrow$ $[x]=[x']$ gilt.

Die Linearität von $V/\operatorname{Ker}(A)\cong V/{\sim}\overset{\tilde{A}}{\to} A(V)$ ergibt sich aus der Definition der Vektorraum-Operationen auf $V/{\operatorname{Ker}(A)}$.

Die Dimensionsformel ergibt sich vermöge (10.11.3) aus $\dim(V)=\dim(\operatorname{Ker}A)+\dim(V/\operatorname{Ker}A) =\dim(\operatorname{Ker}A)+\dim(\operatorname{Bild}A)$.     []

10.17 Definition.
Der Rang einer linearen Abbildung $A:V\to W$ ist definiert als

$$\operatorname{rang}(A):=\dim(A(V))=\dim(V)-\dim(\operatorname{Ker}(A)).$$

10.19 Matrizen versus linearer Abbildungen.
Die Abbildung $L_{\mathbb{K}}(q,p)\mapsto L_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}^q,\mathbb{K}^p)$ gegeben durch $(a_{i,j})\mapsto A$ mit

$$A(x) := \begin{pmatrix}a_{1,1} & \hdots & a_{1... ...=1}^p a_{1,j}\,x_j \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^p a_{p,j}\,x_j \end{pmatrix}$$

ist eine Bijektion. Insbesonders ist

$$A(e_j)= \begin{pmatrix}a_{1,j} \\ \vdots \\ a_{p,j} \end{pmatrix}$$

gerade die $j$-te Spalte von $A$. Die Inverse dazu bildet $A\in L$ ab auf die Matrix $[A]:=(a_{i,j})_{i,j}$ deren Spaltenvektoren $(a_{i,j})_{i=1,\dots,p}$ gerade die Bilder $A(e_j)$ sind, d.h.

$$A(e_j)=\sum_{i=1}^p a_{i,j}\,e_i$$

und somit ist

$$A(x)=A\biggl(\sum_j x_j e_j\biggr) = \sum_j x_... ..._j \sum_i a_{i,j}\,e_i = \sum_i \biggl(\sum_j a_{i,j}\,x_j\biggr)\,e_i.$$

Man nennt $[A]$ die Matrixdarstellung oder auch Koordinatendarstellung der linearen Abbildung $A$.

10.20 Matrixdarstellung linearer Abbildungen.
Es sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb{K}$ mit endlicher Basis $B=\{b_1,\dots,b_p\}\subseteq V$. Dann ist die Abbildung $(x_1,\dots,x_p)\mapsto \sum_{k=1}^p x_k\,b_k$ ein Isomorphismus $\mathbb{K}^{\dim V}\to V$ nach (10.16). Seine Inverse bezeichnen wir mit $I_{ B}:x\mapsto [x]_{ B}:=(x_1,\dots,x_p)$.

Sei nun $f:V\to V'$ eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen über $\mathbb{K}$ und seien $B$ und $B'$ Basen von $V$ und $V'$. Dann können wir statt $f$ die lineare Abbildung $\tilde f:= I_{ B'}\o f\o I_{ B}^{-1}:\mathbb{K}^{\dim V}\to\mathbb{K}^{\dim V'}$ betrachten:

$$\xymatrix{ b_j\ar@{->}[0,3]_{f} \ar@{->}[3,0]^... ...m V'} & \\ e_j\ar@{.>}[0,3]^{\tilde f} & & &\sum_i f_{i,j}\,e_j' \\ }$$

Die Matrixdarstellung $[\tilde f]$ von $\tilde f$ heißt dann Matrixdarstellung von $f$ bzgl. $B$ und $B'$ und wird als

$$[f]_{ B, B'}:=[\tilde f]=[I_{ B'}\o f\o I_{ B}^{-1}]$$

bezeichnet. Der Eintrag $f_{i,j}$ in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte von $[f]_{ B, B'}$ ist gerade der $i$-te Koeffizient von $\tilde f(e_j)$ bzgl. der Basis $\{\dots,e_i,\dots\}$ oder äquivalent von $f(b_j)$ bzgl. der Basis $\{\dots,b_i',\dots\}= B'$.

10.18 Satz.
Die Menge $L(V,W)=L_{\mathbb{K}}(V,W)$ der linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ über $\mathbb{K}$ ist selbst ein Vektorraum.
Ebenso ist die Menge $L_\mathbb{K}(q,p)$ der $p\times q$-Matrizen ein solcher.
Für je eine Basis $B$ von $V$ und $C$ von $W$ haben wir einen Isomorphismus von Vektorräumen

$$L(V,W)\cong L_{\mathbb{K}}(\dim(V),\dim(W))$$

gegeben durch $A\mapsto [A]_{B,B'}$.

Beweis. Falls $W$ ein Vektorraum ist, so auch die Menge $W^X$ aller Abbildungen $f:X\to W$ bzgl. $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ und $(\lambda \,f)(x):=\lambda \,f(x)$ ein solcher.
Der Raum $L(V,W)$ ist ein Teilvektorraum von $W^V$, denn die Summe und das skalare Vielfache linearer Abbildungen ist wieder linear.
Die Menge aller $p\times q$-Matrizen mit Eintragungen aus $\mathbb{K}$ bezeichnen wir mit $L_{\mathbb{K}}(q,p)\cong \mathbb{K}^{p\cdot q}$ und ist ebenfalls ein Vektorraum bzgl. der komponentenweisen Operationen.
Die Matrix $[A]_{B,B'}$ hat die Koordinatendarstellung $[A(b_j)]_{B'}$ von $A(b_j)$ als $j$-te Spalte. Da sowohl $A\mapsto A(b_j)$ als auch $x'\mapsto [x']_{B'}$ linear ist, ist die in (10.20) beschriebene Bijektion $A\mapsto [A]_{B,B'}$ ein Isomorphismus.     []

Dieser Isomorphismus zwischen linearen Abbildungen und Matrizen erlaubt uns zwischen diesen Konzepten hin- und herzuwechseln. Insbesonders können wir Begriffe (wie z.B. Injektivität, Surjektivität, Kern, Rang, etc. ) die wir für lineare Abbildungen eingeführt haben auch für Matrizen verwenden.

10.21 Folgerung.
Der Rang einer linearen Abbildung $A$ ist maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren einer/jeder Matrixdarstellung von $A$.

Beweis. Es sei $B=(v_1,\dots,v_n)$ eine Basis von $V$ und $A:V\to W$ linear. Dann ist $A(B)=(A(v_1),\dots, A(v_n))$ ein Erzeugenden-System von $A(V)$. Die Dimension von $A(V)$ ist also die Anzahl einer minimale erzeugende Teilmenge von $A(B)$, oder äquivalent die maximale Anzahl einer linear unabhängigen Teilmenge von $A(B)$ der Spaltenvektoren von $[A]$.     []

10.22 Beispiel einer Matrixdarstellung.
Es sei $V:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=0\}$ und $A:V\to V$ die Abbildung die jeden Vektor $v=(x,y,z)$ in $V$ den normal-Vektor $v\times (1,1,1):=(y-z,z-x,x-y)$ (siehe (14.12)) zuordnet. Als Basis $B=\{b_1,b_2\}$ von $V$ verwenden wir z.B. $b_1:=(1,-1,0)$ und $b_2:=(1,0,-1)$. Dann ist $A(b_1)=(-1,-1,2)=b_1-2b_2$ und $A(b_2)=(1,-2,1)=2b_1-b_2$ und somit

$$[A]_{B,B}=\begin{pmatrix}1 & -2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.$$

Als Abbildung $\mathbb{K}^2\to\mathbb{K}^2$ ist dies nicht die übliche Zuordnung der Normalvektors $(x_1,x_2)\mapsto (-x_2,x_1)$ - worum nicht? - Siehe (10.28a).

10.23 Matrizen-Multiplikation.
Die Komposition von linearen Abbildungen läßt sich in eine Multiplikation der entsprechenden Matrizen übersetzen. Dabei wird eine $p\times q$-Matrix $(a_{i,j})$ mit einer $q\times r$-Matrix $(b_{j,k})$ zur $p\times r$-Matrix $(c_{i,k})$ mit $c_{i,k}:=\sum_j a_{i,j}\cdot b_{j,k}$ aufmultipliziert. Also erhält man den Koeffizienten von $C$ in der $i$-ten Zeile und $k$-ten Spalte durch komponentenweise Multiplikation der $i$-ten Zeile der 1.ten Matrix mit der $k$-ten Spalte der 2.ten Matrix und Aufsummieren dieser $q$ vielen Produkte.

$$\begin{multline*} \begin{pmatrix} a_{1,1} & \dots & \dots & \dots & a_{1,q} \\ ... ...,j}\, b_{j,k} & \dots & \sum_j a_{p,j}\, b_{j,r} \end{pmatrix}\end{multline*}$$

Es seien $A:V\to W$ und $B:U\to V$ linear und Basen $\mathcal{U}$, $\mathcal{V}$ und $\mathcal{W}$ auf $U$, $V$ und $W$ gegeben. Dann ist $[A\o B]_{\mathcal{U},\mathcal{W}}=[A]_{\mathcal{V},\mathcal{W}}\cdot [B]_{\mathcal{U},\mathcal{V}}$.

Beweis. Es sei $A:V\to W$ und $B:U\to V$ linear mit zugehörigen Matrizen $(a_{j,k})_{j,k}$ und $(b_{i,j})_{i,j}$ bzgl. Basen $(u_i)_i$ von $U$, $(v_j)_j$ von $V$ und $(w_k)_k$ von $W$. Wir wollen die zu $C:=A\o B$ gehörige Matrix $(c_{i,k})_{i,k}$ bestimmen. Also die Entwicklung von $C(u_i)=\sum_k c_{k,i}\,w_k$. Es ist $C(u_i)=A(B(u_i))=A(\sum_j b_{j,i}v_j)=\sum_j b_{j,i} A(v_j)... ..._j b_{j,i}\sum_k a_{k,j} w_k=\sum_k\Bigl(\sum_j a_{k,j} b_{j,i}\Bigr)w_k$, d.h. $c_{k,i}=\sum_j a_{k,j} b_{j,i}$.     []

Bemerkung.
Die in (10.24) definierte Matrizenmultplikation verallgemeinert die Wirkung von Matrizen $(a_{i,j})\in L_\mathbb{K}(n,m)$ auf Vektoren $(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{K}^n$ aus (10.2.3). Denn sei $A\in L(\mathbb{K}^n,\mathbb{K}^m)$ die zugehörige lineare Abbildung also $[A]=(a_{i,j})_{i,j}$ dann ist $[Ax]=[A]\cdot [x]$. Allgemeiner gilt somit für $A\in L(V,W)$ bzgl. Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ die Beziehung

$$[A(x)]_C = [A]_{B,C}\cdot [x]_B.$$

10.24 Proposition.
Es ist sowohl $L(V):=L(V,V)$ also auch $L_\mathbb{K}(p,p)$ ein Ring bezüglich Addition und Komposition, der sogenannte Endomorphismenring. Der lineare Isomorphismus $L(V)\cong L_\mathbb{K}(\dim(V),\dim(V))$ ist ein Ring-Homomorphismus, d.h. auch mit der Multiplikation verträglich.

Beweis. Die Distributivität der Komposition bzgl. der 1. Variable gilt allgemein, jene bzgl. der 2. Variable hängt an der Linearität des 1. Arguments.

Die Ring-Homomorphie folgt aus (10.23).     []

10.25 Beispiel.
Wir betrachten Drehungen $f_\varphi$ in der Ebene $E=\mathbb{R}^2$ um den 0-Punkt und den Winkel $\varphi$. Es ist $f_\varphi :E\to E$ homogen, denn Geraden $\{\lambda \,x:\lambda \in \mathbb{R}\}$ werden auf Geraden abgebildet und Längen der Vektoren werden unter Drehungen erhalten, also ist $f_\varphi (\lambda \,x)\in \{\mu\,f_\varphi (x):\mu\in\mathbb{R}\}$, d.h. $\exists\mu:f_\varphi (\lambda \,x)=\mu\,f_\varphi (x)$, und somit $\vert\mu\vert\,\vert x\vert=\vert\mu\vert\,\vert f_\varphi ... ...\lambda \,x)\vert=\vert\lambda \,x\vert=\vert\lambda \vert\,\vert x\vert$, also $\lambda =\mu$, da die Reihenfolge von 0, $x$ und $\lambda \,x$ auf der von ihnen erzeugten Geraden unter $f$ erhalten bleibt. Weiters ist $f_\varphi :E\to E$ additiv, da Parallelogramme (mit den Ecken 0, $x_1$, $x_2$, $x_1+x_2$) auf ebensolche abgebildet werden, also $f_\varphi (x_1)+f_\varphi (x_2)=f_\varphi (x_1+x_2)$.

Wir versuchen nun die Matrixdarstellung dieser linearen Abbildung zu bestimmen. Das Bild des 1. Einheitsvektors $e_1=(1,0)$ ist $(\cos\varphi ,\sin\varphi )$ und jenes des 2. Einheitsvektors $e_2=(0,1)$ ist $(-\sin\varphi ,\cos\varphi )$. Die Matrix von $f_\varphi$ ist folglich durch

$$\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}$$

gegeben.

Beachte jedoch, daß die Matrixdarstellung $[f_\varphi ]_{B,B}$ bezüglich anderer Basen keine so schöne Form mehr haben muß: Sei z.B. $B=\{b_1,b_2\}$ mit $b_1=e_1$ und $b_2=e_1+e+2$ und somit $e_2=b_2-b_1$ Dann ist

$$f_\varphi (b_1) = f_\varphi (e_1)=\cos\varphi \,e_1+\sin\varphi \,e_2$$

$$= \cos\varphi \,b_1+\sin\varphi \,(b_2-b_1) = (\cos\varphi -\sin\varphi )\,b_1+\sin\varphi \,b_2$$

$$f_\varphi (b_2) = f_\varphi (e_1+e_2) = f_\varphi (e_1)+f_\varphi (e_2)$$

$$= (\cos\varphi -\sin\varphi )\, e_1 + (\sin\varphi +\cos\varphi )\,e_2$$

$$= (\cos\varphi -\sin\varphi )\, b_1 + (\sin\varphi +\cos\varphi )\,(b_2-b_1)$$

$$= -2\sin\varphi \, b_1 + (\sin\varphi +\cos\varphi )\,b_2.$$

und somit ist

$$[f_\varphi ]_{B,B}=\Bigl([f(b_1)]_B,[f(b_2)]_B... ... -2\sin\varphi \\ \sin\varphi & \sin\varphi +\cos\varphi \end{pmatrix}$$

10.26 Additionstheoreme.
Die Zusammensetzung zweier Drehungen $f_\varphi$ und $f_\psi$ ist ebenfalls eine Drehung und zwar jene um den Winkel $\varphi +\psi$, d.h. $f_{\psi +\varphi }=f_\psi \o f_\varphi$. Die entsprechende Gleichung der zugehörigen Matrizen lautet wegen (10.23)

$$\begin{pmatrix}\cos(\psi +\varphi ) & -\sin(\psi +\varphi ) \\ \s... ...& -\sin(\varphi ) \\ \sin(\varphi ) & \phantom{-}\cos(\varphi ) \end{pmatrix} =$$

$$\quad= \begin{pmatrix}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\sin(\... ... & \phantom{-}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\sin(\varphi ) \end{pmatrix}$$

Ein Vergleich der Eintragungen liefert die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus.

10.27 Beispiel.
Wir bestimmen nun alle invertierbaren $2\times 2$-Matrizen

$$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

Wir suchen also Koeffizienten $x$, $y$, $z$ und $t$ mit

$$\begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}\... ... c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$$

Ausmultiplizieren und Vergleich der Koeffizienten liefert folgendes lineares Gleichungssystem in den Variablen $x$, $y$, $z$ und $t$:

$$x\,a+y\,c = 1 = a\,x+b\,z$$

$$x\,b+y\,d = 0 = a\,y+b\,t$$

$$z\,a+t\,c = 0 = c\,x+d\,z$$

$$z\,b+t\,d = 1 = c\,y+d\,t$$

Daraus erhalten wir insbesonders die Gleichungen

$$x\,(a\,d-b\,c) = d$$

$$y\,(a\,d-b\,c) = -b$$

$$z\,(a\,d-b\,c) = -c$$

$$t\,(a\,d-b\,c) = a$$

Da ein invertierbares $A$ nicht die 0-Matrix sein kann, muß $\Delta :=a\,d-b\, c$ ungleich 0 sein und die Inverse somit durch

$$A^{-1} = \frac1{a\,d-b\,c}\,\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

gegeben sein. Daß dies wirklich die Inverse ist, sieht man nun sofort durch Ausmultiplizieren.

10.28 Beispiel.
Wir betrachten den Vektorraum $\mathbb{R}[x]$ der Polynome mit reellen Koeffizienten. Die Polynome $x\mapsto \sum_{k=0}^n p_k\,x^k$ vom Grad $\leq n$ bilden einen Teilraum $V_n:=\mathbb{R}[x]_{\leq n}$ von $\mathbb{R}[x]$.

Das Differenzieren $D:V\to V$ ist gegeben durch $D(p):x\mapsto \sum_{k} p_k\,k\,x^{k-1}$, d.h. die Basis-Vektoren $e_k:x\mapsto x^k$ werden auf $D(e_k):x\mapsto k\,x^{k-1}$ abgebildet, d.h.

$$D(e_k) = \begin{cases}0 & \text{für }k=0 \\ k\,e_{k-1} & \text{andernfalls.} \end{cases}$$

Die Abbildung $I_{ B}\o D\o I_{ B}^{-1}$ bildet somit $e_k$ auf $k\,e_{k-1}$ ab und ihre Matrixdarstellung $[D]_{ B, B}$ ist

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \hdots & 0\\ \vdo... ... & & & \ddots & n \\ 0 & \hdots & \hdots & \hdots & 0 \\ \end{pmatrix}$$

Ein weiteres Beispiel ist Multiplikation $M$ mit einem Polynom $q$. Sei z.B. $q(x):=x+1$ und $M(p):=p\cdot q$. Dann bildet $M:V_n\to V_{n+1}$ das Basispolynom $e_k$ auf $e_k+e_{k+1}$ ab. Die Matrixdarstellung von $M$ ist somit

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \hdots & 0 \\ 1 & 1 &... ... 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \hdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Wir betrachten das Verschieben $T:V_n\to V_n$ um den Wert $1\in\mathbb{R}$ gegeben durch $p\mapsto T(p):x\mapsto p(x-1)$. Wie sieht nun eine Matrixdarstellung von $T$ aus. Die Bilder der standard-Basis sind $T(e_i):x\mapsto (x-1)^i=\sum_{k=0}^i \binom{i}{k}(-1)^{i-k}\,x^k$, also ist die Matrixdarstellung gegeben durch

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \hdots & (-1)^n \... ...\ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \hdots &\hdots &0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

Ein anderes Beispiel ist die Zusammensetzung von rechts $Q:\mathbb{R}[x]_{\leq n}\to\mathbb{R}[x]_{\leq 2n}$, $p\mapsto Q(p):x\mapsto p(x^2+x)$, also $Q=q^*$, wobei $q:x\mapsto x^2+x$ ist. Es ist

$$Q(e_i):x\mapsto (x^2+x)^i =\sum_{k\leq i} \binom{i}{k}x^{2k}\,x^{i-k} =\sum_{k\leq i} \binom{i}{k} x^{i+k},$$

also ist die zugehörige $(k+1)\times (2k+1)$-Matrix gegeben durch

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \hdots & \hdots & \hdo... ...nom{n}{n-1} \\ 0 & \hdots&\hdots&\hdots&\hdots & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$$

10.20a Basiswechsel.
Wir haben in (10.20) die Matrixdarstellung $[f]_{ B, B'}$ einer linearen Abbildung $f:V\to V'$ bzgl. Basen $B$ auf $V$ und $B'$ auf $V'$ als $[I_{B'}\o f \o I_B]$ definiert. Sei nun eine zweite Basis $C$ von $V$ sowie und $C'$ von $V'$ gegeben. Der Zusammenhang zwischen $[f]_{ B, B'}$ und $[f]_{C,C'}$ ist durch folgendes Diagramm gegeben:

$$\xymatrix{ \mathbb{K}^{\dim V}\ar@{->}[0,3]_{ ... ...\ar@{.>}[ -2,0]^{ I_{ C}\o I_{ B}^{-1}} & & &\mathbb{K}^{\dim V'} \\ }$$

Die Basiswechselabbildung $I_{ C}\o I_{ B}^{-1}$ bildet die Basis-Vektoren $e_j$ auf $b_j$ und dann weiter auf $I_{ C}(b_j)$ ab. Da wir nur $I_{ C}(c_i):=e_i$ kennen drücken wir die $b_i$ in der Basis $C=\{c_1,\dots,c_p\}$ mit gewissen Koeffizienten $s_{i,j}$ aus, d.h.

$$b_j=\sum_i s_{i,j}\, c_i$$

und erhalten $I_{ C}(b_j)=\sum_i s_{i,j}\,e_i$, d.h.

$$[\operatorname{id}]_{B,C} =[ I_{ C}\o I_{ B}^{-1}]=(s_{i,j})_{i,j=1,\dots,p}.$$

Die obige Transformationsformel erhalten wir auch kürzer aus (10.23), denn danach ist

$$[f]_{B,B'}=[\operatorname{id}]_{C',B'}\cdot [f]_{C,C'}\cdot [\operatorname{id}]_{B,C}.$$

Betrachten wir nun die Abbildung $I$ welche die $c_j$ auf $b_j$ abbildet. Bezüglich der Basis $C$ auf Ziel- und Start-Raum sieht deren Matrixdarstellung wie folgt aus:

$$[I]_{ C, C}=[ I_{ C}\o I\o I_{ C}^{-1}]: e_j\mapsto c_j\mapsto b_j=\sum_i s_{i,j}\,c_i \mapsto \sum_i s_{i,j}\,e_i,$$

ist also die Matrix $(s_{i,j})_{i,j=1,\dots,p}=[\operatorname{id}]_{ B, C}$. Schließlich ist

$$[I]_{ B, B} =[\operatorname{id}]_{ C, B}\cdot [I]_{ C, C}\cdot [\operatorname... ...peratorname{id}]_{ B, C}^{-1}\cdot [I]_{ C, C}\cdot [\operatorname{id}]_{ B, C}$$

$$=[I]_{ C, C}^{-1}\cdot [I]_{ C, C}\cdot [I]_{ C, C} =[I]_{ C, C}$$

Zusammengefaßt ist die Matrixdarstellung des Basiswechsel also

$$[I]_{C,C}=[I]_{B,B}=[\operatorname{id}]_{B,C}.$$

Insbesonders ist $[\operatorname{id}]_{C,B}=[I^{-1}]_{B,B}=[I]_{B,B}^{-1}=[\operatorname{id}]_{B,C}^{-1}$.

10.28a Beispiel zweier Matrixdarstellungen.
Sei $R_\varphi$ die Drehung um einen Winkel $\varphi$ in der Ebene $V:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z=1\}$ um den Nullpunkt. Dies ist noch nicht wohldefiniert, da die Drehrichtung davon abhängt von welcher Seite aus man die Ebene $V$ betrachtet. Wir wählen die Seite auf welcher der Vektor $(1,1,1)$ liegt.

Eine Basis von $V$ errät man leicht, z.b. $B=\{b_1,b_2\}$ mit $b_1=(1,-1,0)$ und $b_2=(1,0,-1)$. Bezüglich dieser Basis ist aber eine Drehung schwer zu beschreiben. Wir haben dies bislang nur in $\mathbb{R}^2$ bzgl. der standard-Basis $\{e_1,e_2\}$ gemacht. Um dies zu übertragen benötigen wir ein Basis $C=\{c_1,c_2\}$, wobei $c_1$ ein Einheitsvektor ist, also z.B. $c_1:=\frac1{\sqrt{2}}(1,-1,0)$ und $c_2$ der um $90^o$ gedrehte Vektor ist. Ein Vektor $(x,y,z)\in V$ ist genau dann normal auf $c_1$, wenn das innere Produkt (siehe (13.1))

$$\Biggl\langle \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end... ... -1\\ 0 \end{pmatrix} \Biggr\rangle := x\cdot 1 + y\cdot (-1)+z\cdot 0$$

gleich 0 ist, d.h. $x-y=0$ und $x+y+z=0$, also ist $y=x$ und $z=-2x$, d.h. der Vektor ist von der Form $(x,x,-2x)$ und damit seine Länge 1 ist, muß $1=x^2+x^2+(2x)^2=6x^2$, d.h. $x=\pm\frac1{\sqrt{6}}$ sein. Der von $(1,1,1)$ aus betrachtet um $+90^o$ gedrehte Vektor ist also $c_2:=\frac1{\sqrt{6}}(1,1,-2)$.

Eine allgemeinere Methode die neue Basis $\{c_1,c_2\}$ aus $\{b_1,b_2\}$ zu erhalten ist das Gram-Schmidt'sche Orthonormalisierungsverfahren (siehe (13.9)). Wie zuvor setzt man $c_1:=\frac1{\vert b_1\vert}b_1$, wobei $\vert b_1\vert=\sqrt{2}$ die Länge des Vektors $b_1$ bezeichnet. Um nun $c_2$ zu erhalten bestimmt man zuerst die Normalprojektion von $b_2$ auf $c_1$. Diese hat Richtung $c_1$ und als Länge das innere Produkt $\langle b_2\vert c_1\rangle$ und ist somit durch $\langle b_2\vert c_1\rangle c_1$ gegeben. Der Vektor

$$b_2' :=b_2-\langle b_2\vert c_1\rangle c_1$$

$$= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} - \Biggl\langle \begin{... ...}1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac12\\ \frac12\\ -1 \end{pmatrix}$$

steht dann bereits normal auf $c_1$ und $c_2:=\frac1{\vert b_2'\vert}b_2'=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-1)$ ist der gesuchte Normalvektor der Länge 1.

Bezüglich dieser Basis sieht also $R_\varphi$ wie in (10.25) aus, d.h.

$$R_\varphi (c_1) =\cos(\varphi )\,c_1+\sin(\varphi )\,c_2$$

$$R_\varphi (c_2) =-\sin(\varphi )\,c_1+\cos(\varphi )\,c_2$$

Die Matrixdarstellung von $R_\varphi$ bezüglich der Basis $C$ ist somit

$$[R_\varphi ]_{ C, C} = \begin{pmatrix} \cos(\varphi ) & -\sin(\varphi ) \\ \sin(\varphi ) & \cos(\varphi ) \end{pmatrix}$$

Um die Darstellung bezüglich der ursprünglich gewählten Basis $B$ von $R_\varphi$ zu bestimmen benötigen wir die Matrizen $[\operatorname{id}]_{B,C}$ und $[\operatorname{id}]_{C,B}$ der Basiswechsel bestimmen, denn es ist

$$[R_\varphi ]_{B,B}=[\operatorname{id}]_{C,B}\,[R_\varphi ]_{C,C}\,[\operatorname{id}]_{B,C}.$$

Die Matrix $[\operatorname{id}]_{B,C}$ ist durch die Koeffizienten der $b_j$ in der Basis $C$ gegeben, also wegen

$$b_1 = \vert b_1\vert\,c_1 = \sqrt{2}\,c_1+0\,c_2$$

$$b_2 = \langle b_2\vert c_1\rangle\,c_1 + \vert b_2'\vert\,c_2= \frac1{\sqrt{2}}\,c_1+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\,c_2$$

ist

$$[\operatorname{id}]_{B,C} =\begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac1{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Die Matrix $[\operatorname{id}]_{C,B}$ erhalten wir entweder auf analoge Weise oder als Inverse von $[\operatorname{id}]_{C,B}$, d.h.

$$[\operatorname{id}]_{C,B}=[\operatorname{id}]_... ...{2}} & -\frac1{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$

Damit erhalten wir schließlich die Matrixdarstellung von $R_\varphi$ bzgl. $B$ als

$$[R_\varphi ]_{B,B} = [\operatorname{id}]_{C,B} \cdot [R_\varphi ]_{C,C}\cdot [\operatorname{id}]_{B,C}$$

$$= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{6}}\\ 0 & \fr... ...atrix}\sqrt{2} & \frac1{\sqrt{2}}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}\cos(\varphi )-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\varphi )&... ...sin(\varphi ) &\cos(\varphi )+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin(\varphi ) \\ \end{pmatrix}$$

Wir können $R_\varphi$ aber auch allgemeiner auffassen als Abbildung $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ des Raums, die Punkte um die von $b_3:=(1,1,1)$ erzeugte Achse um den Winkel $\varphi$ beschreibt. Indem wir $b_3$ normieren um $c_3:=\frac1{\sqrt{3}}(1,1,1)$ zu bilden, erhalten wir eine Basis $C$ bestehend aus den 3 gleich langen und aufeinander paarweise orthogonal stehenden Vektoren $c_1$, $c_2$ und $c_3$. Die Matrixdarstellung von $R_\varphi$ bezüglich dieser Basis sieht dann natürlich wie folgt aus, denn die 3.te Koordinate die den Normalabstand zur Ebene $V$ beschreibt wird bei der Drehung nicht geändert:

$$[R_\varphi ]_{C,C} =\begin{pmatrix} \cos\varph... ...varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Die Matrixdarstellung der Abbildung $I:e_i\mapsto c_i$ ist

$$[I]=(c_1,c_2,c_3) = \begin{pmatrix} \frac1{\s... ...3}} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & \frac1{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$

Man kann zeigen, daß jene von $I^{-1}$ gerade durch Vertauschen der Zeilen und Spalten aus $I$ hervorgeht, also durch

$$[I]^{-1}=I^t= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt{2}}... ...\ \frac1{\sqrt{3}} & \frac1{\sqrt{3}} & \frac1{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$

gegeben ist. Die Matrixdarstellung von $R_\varphi$ bzgl. der Standardbasis ist somit gegeben durch

$$[R_\varphi ] = [I]\cdot [R_\varphi ]_{C,C}\cdot [I]^{-1}$$

$$= \begin{pmatrix}\phantom{-}\frac1{\sqrt{2}} & \phantom{-}\frac1{... ...\phantom{-}0 & -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & \frac1{\sqrt{3}} \end{pmatrix}^{-1}$$

$$= \begin{pmatrix}\phantom{-}\frac1{\sqrt{2}} & \phantom{-}\frac1{... ...t{3}} & \phantom{-}\frac1{\sqrt{3}} & \phantom{-}\frac1{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$

$$= 1/3\cdot \begin{pmatrix}1+2\cos\varphi & 1-\cos\varphi -\sqrt{3... ...\sin\varphi & 1-\cos\varphi +\sqrt{3}\sin\varphi & 1+2\cos\varphi \end{pmatrix}$$

Eine andere lineare Abbildung ist die Normalprojektion $P$ auf die Ebene $V$. Bezüglich der Basis $C=\{c_1,c_2,c_3\}$ ist ihre Matrizendarstellung offensichtlich durch

$$[P]_{C,C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

gegeben. In der Standardbasis sieht sie also wie folgt aus

$$[P] = [I]\cdot [P]_{C,C}\cdot [I]^{-1}$$

$$= \begin{pmatrix}\phantom{-}\frac1{\sqrt{2}} & \phantom{-}\frac1{... ...t{3}} & \phantom{-}\frac1{\sqrt{3}} & \phantom{-}\frac1{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}\phantom{-}\frac2{3} & -\frac1{3} & -\frac1{3} \... ...3} & -\frac1{3} \\ -\frac1{3} & -\frac1{3} & \phantom{-}\frac2{3} \end{pmatrix}$$

Eine weitere lineare Abbildung ist Spiegelung $S$ an der Ebene $V$. Bezüglich der Basis $C=\{c_1,c_2,c_3\}$ ist ihre Matrizendarstellung offensichtlich durch

$$[S]_{C,C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

gegeben. In der Standardbasis sieht sie also wie folgt aus

$$[S] = [I]\cdot [P]_{C,C}\cdot [I]^{-1}$$

$$= \begin{pmatrix}\phantom{-}\frac1{\sqrt{2}} & \phantom{-}\frac1{... ...t{3}} & \phantom{-}\frac1{\sqrt{3}} & \phantom{-}\frac1{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}\phantom{-}\frac1{3} & -\frac2{3} & -\frac2{3} \... ...3} & -\frac2{3} \\ -\frac2{3} & -\frac2{3} & \phantom{-}\frac1{3} \end{pmatrix}$$