Einführung in das mathematische Arbeiten

Aufgabe 5.4.6 (Lösung)

Auf der Menge $K=\{0,1,a,b\}$ seien die Verknüpfungen \begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} +\ &\ 0\ &\ 1\ &\ a\ &\ b \\\hline 0 & 0 & 1 & a & b \\ 1 & 1 & 0 & b & a \\ a & a & b & 0 & 1 \\ b & b & a & 1 & 0 \end{array}\qquad\text{und}\qquad \begin{array}{c|cccc} \cdot\ &\ 0\ &\ 1\ &\ a\ &\ b \\\hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & a & b \\ a & 0 & a & b & 1 \\ b & 0 & b & 1 & a \end{array} \end{equation*} gegeben. Zeigen Sie, dass $(K,+,\cdot)$ ein Körper ist. Vergleichen Sie diesen Körper (seine mathematische Bezeichnung ist übrigens $GF(4)$ oder $\mathbb{F}_{4}$) mit $\Z_{4}$.

Aufgabe 5.4.7 (Lösung)

Für welche $n\in\{2,\dots,6\}$ ist $\Z_{n}$ ein Körper?

Aufgabe 5.4.12 (Lösung)

Sei $(K,+,\cdot)$ Körper. Wir vereinbaren für $a,b\in K$ mit $b\not=0$ die Schreibweise $a/b:=\frac{a}{b}:=ab^{-1}$. Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden "`Regeln der Bruchrechnung"' ($a,b,c,d\in K$, $b,d\not=0$):

1. $\displaystyle\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$,
2. $\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$,
3. $\displaystyle\frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}\quad(c\neq0)$.

Aufgabe 5.4.17 (Lösung)

Definieren Sie $\Q\lbrack\sqrt{3}\rbrack$ analog zu Beispiel 5.4.16 durch \begin{align*} (a_{1}+b_{1}\sqrt3)\oplus(a_{2}+b_{2}\sqrt{3})&:= (a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\sqrt{3}\\ (a_{1}+b_{1}\sqrt3)\otimes(a_{2}+b_{2}\sqrt{3})&:= (a_{1}a_{2}+3b_{1}b_{2})+(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2})\sqrt{3}. \end{align*} Zeigen Sie, dass $\Q[\sqrt{3}]$ ein Unterkörper von $\R$ ist.

Aufgabe 5.4.18 (Lösung)

Betrachten Sie noch einmal den Körper $\mathbb{F}_{4}$ aus Aufgabe 5.4.6 und den Körper $\Z_{2}$ aus Bemerkung 5.4.4. Zeigen Sie, dass $\Z_{2}$ ein Unterkörper von $\mathbb{F}_{4}$ ist.

Aufgabe 5.4.19 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Sei $\Q[i]:=\{a+ib\mid a,b\in\Q\}\subseteq\C$. Beweisen Sie, dass $\Q[i]$ ein Unterkörper von $\C$ ist.

Aufgabe 5.4.22 (Lösung)

Wir definieren auf $\Q\x\Q$ (alternative) Verknüpfungen durch \begin{align*} (a_{1},a_{2})+(b_{1},b_{2})&:=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})\\ (a_{1},a_{2})\cdot(b_{1},b_{2})&:= (a_{1}b_{1}+3a_{2}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}). \end{align*} Beweisen Sie, dass $(\Q\x\Q,+,\cdot)$ ein Körper ist. Zeigen Sie weiters, dass dieser Körper isomorph zu $\Q[\sqrt3]$ aus Aufgabe 5.4.17 ist.

Aufgabe 5.4.23 (Lösung)

Auf den reellen Zahlen $\R$ definieren wir die Verknüpfungen \begin{align*} a\oplus b &:= a + b - 3,\\ a\otimes b &:= (a-3)(b-3)+3 = ab - 3a - 3b + 12. \end{align*} Weisen Sie nach, dass $(\R,\oplus,\otimes)$ ein Körper ist. Geben Sie einen Körperisomorphismus $\ph:(\R,\oplus,\otimes)\to(\R,+,\cdot)$ an.

Aufgabe 5.4.24 (Erweiterungsstoff) (Lösung)

Wir betrachten die Teilmenge $$ K := \biggl\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\ \biggr|\ \biggl. a,b\in\Q\biggr\} $$ von $(M_{2}(\R),+,\cdot)$. Zeigen Sie, dass $(K,+,\cdot)$ ein Körper ist, der isomorph zu $\Q[i]$ (siehe Aufgabe 5.4.19) ist.