Lösung für Aufgabe 5.4.17
Definieren Sie $\Q\lbrack\sqrt{3}\rbrack$ analog zu Beispiel 5.4.16 durch \begin{align*} (a_{1}+b_{1}\sqrt3)\oplus(a_{2}+b_{2}\sqrt{3})&:= (a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\sqrt{3}\\ (a_{1}+b_{1}\sqrt3)\otimes(a_{2}+b_{2}\sqrt{3})&:= (a_{1}a_{2}+3b_{1}b_{2})+(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2})\sqrt{3}. \end{align*} Zeigen Sie, dass $\Q[\sqrt{3}]$ ein Unterkörper von $\R$ ist.Bei genauerer Betrachtung sehen wir, dass $\oplus$ und $\otimes$ genau die von $\R$ ererbten Operationen $+$ und $\cdot$ sind. Wir untersuchen also: \begin{equation*} (a_{1}+b_{1}\sqrt{3})-(a_{2}+b_{2}\sqrt{3}) = (a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\sqrt{3}\in K, \end{equation*} und für $(a_{2},b_{2})\neq(0,0)$ \begin{multline*} (a_{1}+b_{1}\sqrt{3})(a_{2}+b_{2}\sqrt{3})\inv = \frac{a_{1}+b_{1}\sqrt{3}}{a_{2}+b_{2}\sqrt{3}} = \frac{(a_{1}+b_{1}\sqrt{3})(a_{2}-b_{2}\sqrt{3})}{a_{2}^{2}-3b_{2}^{2}} \\ =\frac{a_{1}a_{2}-3b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}-3b_{2}^{2}}+ \frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}-3b_{2}^{2}}\sqrt{3}. \end{multline*} Dieses Ergebnis liegt in $K$, sofern $a_{2}^{2}-3b_{2}^{2}\neq 0$ gilt. Dies ist aber wahr, da nicht beide $a_{2}$ und $b_{2}$ gleich Null sein dürfen und weil $a_{2}^{2}\neq 3b_{2}^{2}$ sein muss, da $a_{2}$ und $b_{2}$ rational sind, $\sqrt{3}$ aber irrational ist. Daher sind die Voraussetzungen von Proposition 5.4.15 erfüllt, und $K$ ist in der Tat ein Unterkörper von $\R$. Wir schreiben auch $K=\Q[\sqrt{3}]$.