Lösung für Aufgabe 5.4.24 (Erweiterungsstoff)
Wir betrachten die Teilmenge
a−bba
a
b
)+
)Es gilt
\begin{pmatrix}
a&b\\-b&a
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
a'&b'\\-b'&a'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a-a'&b-b'\\-(b-b')&a-a'
\end{pmatrix},
sowie
\begin{pmatrix}
a&b\\-b&a
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a'&b'\\-b'&a'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
aa'-bb'&ab'+a'b\\-(ab'+a'b)&aa'-bb'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a'&b'\\-b'&a'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a&b\\-b&a
\end{pmatrix}
,
Daher ist (K,+,\cdot) ein Unterring von (M_2(\R),+,\cdot), und die
Multiplikation ist kommutativ auf K. Für
A=\begin{pmatrix} a&b\\-b&a \end{pmatrix} finden wir \det A=a^2+b^2\neq 0,
also ist A invertierbar (siehe Beispiel 5.2.30, Aufgabe 5.2.32).
Daher besitzt jedes Element, das nicht Null ist, ein Inverses. Die Nullmatrix
und die Einheitsmatrix sind in K, und damit ist K ein Körper.
Die Abbildung \ph:K\to\Q[i] mit
\ph: \begin{pmatrix}
a&b\\-b&a
\end{pmatrix}
\mapsto a+ib
ist ein Körperisomorphismus. Die Rechnung wurde im Prinzip bereits
oben durchgeführt.