Summary of Final Report

In the course of the implementation of the project, we further developed the theoretical background of symmetry analysis of differential equations in its extended interpretation. The application to well-known models of fluid dynamics and meteorology, including their invariant and conservative parameterizations, was parallelly continued for demonstrating the ability of modern group analysis to contribute to the understanding of geophysical fluid dynamics. The above theoretical studies were supplemented by the classification of a variety of objects (Lie and discrete symmetries, admissible and equivalence transformations, conditional symmetries, reduction operators, exact solutions, conservation laws, potential symmetries, etc.) for particular systems of differential equations or classes of such systems that are important for real-world applications and for refining the theory of extended group analysis of differential equations. A number of original and modified techniques were created and used in the course of these computations. Some project findings were really surprising.

In particular, continuing the study of equivalence groupoids of classes of differential equations, we introduced the notion of uniformly semi-normalized class of differential equations. The theorem on splitting symmetry groups in uniformly semi-normalized classes allowed us to extend the range of applicability of the algebraic method of group classification to classes that are not normalized. We happened to construct for the first time several examples of nontrivial generalized equivalence groups such that equivalence-transformation components associated with equation variables locally depend on nonconstant arbitrary elements of the corresponding classes. Note that for more than 20 years after the first discussion of the notion of generalized equivalence groups, no examples of nontrivial generalized equivalence groups had been known in the literature, except classes for which some of arbitrary elements are constants. This is why certain doubts had started to circulate in the symmetry community whether this notion is valuable at all. We explicitly constructed, in a rigorous way, extended generalized equivalence groups of several classes of differential equations (both ordinary and partial ones). These are also the first examples of such a construction in the literature. We discovered classes of differential equations with nontrivial generalized equivalence groups containing proper subgroups that generate the same subgroupoids of the corresponding equivalence groupoids as the entire groups do. Minimal among such subgroups were called effective generalized equivalence groups of the associated classes of differential equations, and they have quite unusual properties. There exist classes of differential equations whose effective generalized equivalence groups are not normal subgroups of the corresponding generalized equivalence groups and are hence not unique. We also found a class of differential equations each of whose effective generalized equivalence groups does not contain its usual equivalence group. Note that the generalized equivalence group of a class necessarily contains its usual equivalence group.

Noether's second theorem was enhanced and generalized to systems of differential equations that are not necessarily Euler–Lagrange equations. The exhaustive solution of the general inverse problem on conservation laws for (1+1)-dimensional evolution equations allowed us to describe local conservation laws of even-order (1+1)-dimensional evolution equations. Refining the definition of nonclassical symmetries for single differential equations and introducing the notion of singular reduction modules led to revisiting and enhancing the entire theory of nonclassical symmetries of differential equations.

Zusammenfassung des Abschlussberichts

Im Zuge dieses Projekts erweiterten wir die theoretischen Grundlagen der Symmetrieanalyse von Differentialgleichungen in deren erweiterter Interpretation. Die Anwendungen der Methoden der Gruppenanalyse auf bekannte Modelle der Fluiddynamik und Meteorologie, inklusive deren invarianter und konservativer Parametrisierung, wurde zugleich weitergeführt um die Fähigkeit der modernen Gruppenanalyse zu zeigen zum Verständnis der geophysikalischen Fluiddynamik beizutragen. Die obigen theoretischen Studien wurden erweitert durch die Klassifikation einer Vielzahl an Objekten (Lie- und diskrete Symmetrien, zugelassene und Äquivalenztransformationen, konditionelle Symmetrien, Reduktionsoperatoren, exakte Lösungen, Erhaltungssätze, Potentialsymmetrien, etc.) für bestimmte Systeme von Differentialgleichungen oder Klassen von Systemen von Differentialgleichungen die eine Rolle in Anwendungen spielen, sowie zur Verfeinerung der Theorie der erweiterten Gruppenanalyse von Differentialgleichungen. Eine Vielzahl an neuen und modifizierten Techniken wurden entwickelt und im Zuge unserer Berechnungen verwendet. Viele Projektresultate sind in der Tat überraschend.

Insbesondere erweiterten wir die Studie von Äquivalenzgruppoiden von Klassen von Differentialgleichungen indem wir den Begriff von uniformly semi-normalized class of differential equations einführten. Der Satz zur Partition von Symmetriegruppen in uniform semi-normalisierten Klassen gestattete uns die Bandbreite der algebraischen Methode der Gruppenklassifikation auf Klassen die nicht normalisiert sind zu erweitern. Wir konstruierten, zum ersten Mal, mehrere Beispiele von nichttrivialen verallgemeinerten Äquivalenzgruppen sodass die Äquivalenztransformationskomponenten assoziiert mit den Gleichungsvariablen lokal von nichtkonstanten Parameterelementen der zugehörigen Klasse abhängen. Wir weisen darauf hin dass mehr als zwanzig Jahren nach der Einführung des Begriffs der verallgemeinerten Äquivalenzgruppe kein einziges nichttriviales Beispiel einer solchen Gruppe in der Literatur bekannt war, mit Ausnahme von Klassen für die manche Parameterelemente konstant waren. Aus diesem Grund wurden Zweifel in der Symmetriegemeinschaft laut, ob dieser Begriff überhaupt von Bedeutung sei. Wir konstruierten explizit und rigoros erweiterte verallgemeinerte Äquivalenzgruppen für eine Vielzahl von Klassen von Differentialgleichungen (sowohl gewöhnlicher als auch partieller). Diese Beispiele sind auch die ersten Beispiele einer solchen Konstruktion in der Literatur. Wir fanden Klassen von Differentialgleichungen mit nichttrivialen verallgemeinerten Äquivalenzgruppen die echte Untergruppen enthalten die dieselben Untergruppoide der entsprechenden Äquivalenzgruppoiden erzeugen wie die gesamten Gruppen. Minimale Untergruppen dieser Art wurden effektive verallgemeinerte Äquivalenzgruppen der zugehörigen Klasse von Differentialgleichungen getauft, und diese haben unerwartete Eigenschaften. Es gibt Klassen von Differentialgleichungen deren effektive verallgemeinerte Äquivalenzgruppen keine normalen Untergruppen der zugehörigen verallgemeinerten Äquivalenzgruppen sind und diese sind daher nicht eindeutig. Wir fanden zudem Klassen von Differentialgleichungen deren effektive verallgemeinerte Äquivalenzgruppen nicht die gewöhnlichen Äquivalenzgruppen beinhalten. Beachte dass die verallgemeinerte Äquivalenzgruppe einer Klasse notwendigerweise auch ihre gewöhnliche Äquivalenzgruppe beinhaltet.

Der zweite Noethersche Satz wurde weiterentwickelt und verallgemeinert auf Systeme von Differentialgleichungen die nicht notwendigerweise Euler–Lagrange Gleichungen sind. Die komplette Lösung des inversen Problems bezüglich Erhaltungssätze für (1+1)-dimensionale Evolutionsgleichungen erlaubte uns die lokalen Erhaltungssätze von geradzahligen (1+1)-dimensionalen Evolutionsgleichungen zu beschreiben. Die Verfeinerung der Definition von nichtklassischen Symmetrien für einzelne Differentialgleichungen und die Einführung des Begriffs des singulären Reduktionsmoduls erlaubte die gesamte Theorie der nichtklassischen Symmetrien von Differentialgleichungen zu verbessern.