Abstract English

Extended group analysis of differential equations

The value of symmetries in science can hardly be overestimated. Today, symmetries form a cornerstone of various physical disciplines, including classical and quantum mechanics, relativity and particle physics. More specifically, symmetries of differential equations allow the computation of exact solutions and conservation laws and thus can provide important information whether or not it might be possible to integrate the given equations. Although these computations are classical applications of symmetry methods, there exist more recent methods that owing to their potential practical relevance deserve a more exhaustive study than presently available. In particular, symmetries can be used for the design of invariant parameterization and discretization schemes.

The aim of this project is a substantial advancement of group analysis of differential equations in the interplay of mathematics and applications, with a special focus on the atmospheric sciences. The research program is essentially built on the results of the antecedent FWF project Classification problems of group analysis.

We intend to continue an extension and application of the modern perception of group analysis in the algebraic language. The algebraic formalization of various existing techniques of group analysis includes a reformulation of the framework of admissible transformations in classes of differential equations in terms of groupoids. We will rigorously define the notion of equivalence algebroids and infinitesimal normalization and will develop a universally applicable toolbox for the algebraic approach to the construction of point symmetry groups of single differential equations, equivalence groups and equivalence groupoids of classes of differential equations.

The definition of reduction modules for systems of differential equations will be formalized using tools of formal compatibility theory. The framework of singular reduction modules will be developed and extended to systems of differential equations. As a practical demonstration of the utility of the theoretical concepts to be established we plan to systematically investigate wide classes of differential equations which naturally arise in the course of constructing physical parameterization schemes of unresolved processes in numerical models of geophysical fluid dynamics that admit prescribed symmetries and/or conservation laws.

Specific core deliverables of the present project will be the description of the universal Abelian covering of second-order evolution equations up to contact equivalence, the study of low-order conservation laws of (1+1)-dimensional evolution equations, the construction of the linear potential frame for (1+1)-dimensional linear evolution equations of arbitrary order, potential symmetries and potential conservation laws associated with this potential frame, no-go statements on nonclassical symmetries of second-order linear partial differential equations with two independent variables and the classification of nonlinear reduction operators of (1+1)-dimensional nonlinear heat equations with sources depending on all variables.

Abstract German

Erweiterte Gruppenanalyse von Differentialgleichungen

Die Bedeutung von Symmetrien in den Naturwissenschaften kann schwer überbewertet werden. Symmetrien bilden das Fundament zahlloser Teilgebiete der Physik, z.B. der klassischen und Quantenmechanik, Relativitätstheorie und Elementarteilchenphysik. Symmetrien von Differentialgleichungen ermöglichen die Berechnung von exakten Lösungen und Erhaltungssätzen und stellen somit wichtige Informationen zur Lösbarkeit der untersuchten Gleichungen bereit. Obwohl die entsprechenden Verfahren klassische Anwendungen von Symmetriemethoden sind gibt es noch weitere, modernere Methoden, die aufgrund ihrer potentiellen Anwendbarkeit eine tiefer gehende Untersuchung verdienen als sie zur Zeit verfügbar ist. Beispiele für solche Anwendungen sind die Konstruktion von invarianten Parameterisierungs- und Diskretisierungsschemata.

Das Ziel dieses Projekts ist eine substantielle Weiterentwicklung der Gruppenanalyse von Differentialgleichungen im Zusammenspiel von Mathematik und Anwendungen, wobei spezielles Augenmerk auf die Atmosphärenwissenschaften gelegt werden soll. Das Forschungsprogram baut dabei essentiell auf dem FWF-Vorgängerprojekt Klassifikationsprobleme der Gruppenanalyse auf.

Wir planen eine Erweiterung und Anwendung der modernen Gruppenanalyse in algebraischen Begrifflichkeiten. Die algebraische Formalisierung von zahllosen existierenden Methoden der Gruppenanalyse beinhaltet eine neue Darlegung des Konzepts der Admissible Transformations in Klassen von Differentialgleichungen in Begriffen der Gruppoidentheorie. Wir werden Äquivalenzgruppoide und infinitesimale Normalisierung rigoros definieren und einen universell anwendbaren Methodensatz für den algebraischen Zugang zur Konstruktion von Punktsymmetriegruppen einzelner Differentialgleichungen, Äquivalenzgruppen und Äquivalenzgruppoiden von Klassen von Differentialgleichungen bereitstellen.

Die Definition von Reduktionsmoduln von Systemen von Differentialgleichungen wird unter Verwendung von Werkzeugen der formalen Kompatibilitätstheorie formalisiert. Das Konzept von singulären Reduktionsmoduln wird entwickelt und auf Systeme von Differentialgleichungen erweitert. Als praktischen Beweis der Nützlichkeit der zu entwickelnden theoretischen Begrifflichkeiten werden wir Klassen von Differentialgleichungen untersuchen, die auf natürliche Weise im Zuge der Konstruktion von physikalischen Parameterisierungsschemata für unaufgelöste Prozesse in numerischen Modellen der Geofluiddynamik auftauchen und die bestimmte Symmetrien bzw. Erhaltungssätze besitzen.

Die Kernziele dieses Projekts werden eine Beschreibung der universellen abelschen Einhüllenden von Evolutionsgleichungen zweiter Ordnung bis auf Kontaktäquivalenz, die Untersuchung von niedrigstufigen Erhaltungssätzen von (1+1)-dimensionalen Evolutionsgleichungen, die Konstruktion linearer Potentialframes, Potentialsymmetrien und Potentialerhaltungssätzen dieser Potentialframes, die Erarbeitung von Ausschlusskriterien für nichtklassische Symmetrien linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Variablen und die Klassifikation nichtlinearer Reduktionsoperatoren von (1+1)-dimensionalen nichtlinearen Wärmeleitungsgleichungen mit von allen Variablen abhängigen Quellen sein.