20.4.1 Satz von Frobenius
für totale Differential-Gleichungen.
Es sei
für irgendein
.
Dann existiert lokal eine differenzierbare
Lösung
der totalen Differentialgleichung
Bemerkung.
Für
sei
, dann ist
die totale Differentialgleichung
gleichbedeutend
mit
folgendem
System partieller Differentialgleichungen
Beweis.
Für
sei
eine lokale
Lösung obiger Differentialgleichung mit Anfangsbedingung
.
Dann ist
stetig und
nach der Kettenregel ist
mit
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Es sei
fix.
Wir führen die totale Differentialgleichung
auf eine gewöhnliche zurück.
Es sei
fix.
Wir nehmen vorerst an, daß eine lokale Lösung
der totalen Differentialgleichung mit Anfangswert
existiert und setzen
.
Dann gilt
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Wir betrachten nun den Spezialfall, wo
nur vom ersten Faktor abhängt:
20.4.2 Folgerung.
Stammfunktion im Mehrdimensionalen.
Es sei also
. Dann ist
es existiert lokal ein
mit
und
, d.h.
; also ist
lokal eine
Stammfunktion von
.
20.4.3 Definition. 1-Form.
Eine 1-Form ist eine Abbildung
. Sie heißt
exakt, falls
es eine Stammfunktion auf ganz
, d.h. eine
differenzierbare Abbildung
gibt, mit
.
Wenn
differenzierbar ist, dann schreibt man auch
für die exakte 1-Form die durch die Ableitung
gegeben ist.
Für
und die lineare Koordinatenprojektion
erhält man insbesonders die exakte 1-Form
die an jeder Stelle durch
gegeben ist.
Eine allgemeine 1-Form
kann für
nun wie folgt geschrieben
werden:
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Ist
, dann ist
, also
gerade die
-te partielle Ableitung von
und
20.4.4 Theorem. Exakte
1-Formen.
Es sei die 1-Form
exakt und
. Dann ist
Eine Menge
Beweis.
Der Satz von Frobenius liefert uns nur eine lokale Stammfunktion.
Der Grund dafür war, daß im Beweis
eine lokale Lösung
einer gewöhnlichen Differentialgleichung war.
Da im vorliegenden Fall
aber nicht vom Faktor
abhängt, ist die
entsprechende Differentialgleichung:
Wenn
exakt ist, dann können wir die Stammfunktion
von
auch direkt
one den Satz von Frobenius wie folgt bestimmen:
20.4.5 Proposition.
Stammfunktion via Kurvenintegral.
Es sei
.
Dann ist
Beweis. Nach Kettenregel und Hauptsatz gilt:
Dies führt dazu auch für allgemeine 1-Formen
das Integral längs Kurven
wie folgt zu definieren:
20.4.6 Definition. Kurvenintegral.
Es sei
und
eine stetige 1-Form.
Dann ist das Kurvenintegral
wie folgt definiert:
20.4.7 Proposition.
Reparametrisierungsinvarianz des Kurvenintegrals.
Das Kurvenintegral ist Reparametrisierungs-invariant.
Es sei
und
mit
und
, und
eine stetige 1-Form.
Dann ist
Beweis.
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20.4.8 Theorem. Exaktheit via
Wegunabhängigkeit.
Es sei
eine stetige 1-Form auf einer
zusammenhängenden offenen Menge.
Dann ist
genau dann exakt, wenn
ihr Kurvenintegral wegunabhängig ist, d.h. nur von den Endpunkten der Kurve
und nicht ihres Aussehens dazwischen abhängt.
Als Stammfunktion können wir
definieren, wobei
eine
-Kurve von
nach
ist.
Weiters ist die Stammfunktion bis auf eine additive Konstante eindeutig.
Definition.
Eine offene Menge
heißt zusammenhängend
zu je zwei Punkten
existiert ein Polygonzug, welcher
die beiden Punkte verbindet.
Wenn
Kurven sind, die an den Endpunkten
übereinstimmen (d.h.
),
so definieren wir die Kurve
durch
. Ein Polygonzug ist also
,
wobei die
die affinen Verbindungsstücke der Ecken sind.
Die Segmente
des
Polygonzugs können durch
-parametrisiert
werden. Die Ableitungen an der Ecken stimmen aber nicht überein, also liefert
keine differenzierbare Parametrisierung.
Aber wir können die
vermöge
,
umparametrisieren. Wegen
und
können wir
bilden. Wegen
verschwindet
und den Randpunkten und somit ist
.
Also können wir den Polygonzug
parametrisieren.
Es geht sogar
, wenn wir
so wählen, daß alle Ableitungen am Rand
des Intervall verschwinden.
Beweis.
Eindeutigkeit:
Es seien
für
zwei Stammfunktionen.
Dann ist die Differenz
differenzierbar mit Ableitung
.
Sei
und
in
beliebig und
eine
-Kurve in
, die
mit
verbindet.
Dann ist
.
(
)
Umgekehrt sei
beliebig und
eine
-Kurve die
mit
verbindet. Dann setzen wir
.
Für
sei weiters
. Dann ist
für alle kleinen
und
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Beispiel.
Es sei die 1-Form
gegeben durch
, wobei
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Wir können einen beliebigen Punkt
durch die affine
-Kurve
mit
verbinden.
Also ist
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Wir können aber auch Achsen-parallele Wege verwenden:
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Ebenso können wir folgende Achsen-parallele Wege verwenden:
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Andreas Kriegl 2002-07-01