Fundamentalsatz der Algebra

3.4.5 Lemma. Verhalten bei unendlich.
Es sei $f$ ein Polynom vom Grad $n$. Dann ist $\lim_{z\to{\infty}} \vert f(x)\vert={\infty}$.

Beweis. Es sei $f(z)=\sum_{k\leq n}a_k z^k$ mit $a_k\ne 0$. Dann gilt

$$\vert f(z)\vert=\underbrace{\vert a_n\vert}_{\... ...derbrace{\frac{a_{n-1}}{a_nz}}_{\to 0}+1\right)\to{\infty}.{\rm\quad[]}$$

3.4.6 Lemma. Infimum wir angenommen.
Es sei $f$ ein Polynom vom Grad $n$. Dann $\exists z_{\infty}\in\protect\mathbb{C}$ mit $\vert f(z_{\infty})\vert=\inf\{\vert f(z)\vert:z\in\protect\mathbb{C}\}$.

Beweis. Es sei $\gamma :=\inf\{\vert f(z)\vert:z\in\protect\mathbb{C}\}$. Dann existieren $z_n\in\protect\mathbb{C}$ mit $\vert f(z_n)\vert\to\gamma$. Wegen Lemma (3.4.5) ist $\{z_n:n\in\protect\mathbb{N}\}$ beschänkt, hat also nach den Satz von Bolzano-Weierstrass (2.4.5) einen Häufungswert. O.B.d.A. können wir also annehmen, daß $\exists z_{\infty}:=\lim_{n\to{\infty}}z_n$. Da $f$ stetig ist, gilt

$$\vert f(z_{\infty})\vert := \vert f(\lim_{n\to{\infty}}z_n)\vert=\vert\lim_{n\to{\infty}}f(z_n)\vert=\lim_{n\to{\infty}}\vert f(z_n)\vert$$

$$=\gamma =\inf\{\vert f(z)\vert:z\in\protect\mathbb{C}\}.{\rm\quad[]}$$

3.4.7 Lemma. Existenz einer Nullstelle.
Es sei $f$ ein Polynom vom Grad $n$. Dann existiert ein $z\in\protect\mathbb{C}$ mit $f(z)=0$.

Beweis. Es sei $z_{\infty}$ wie in Lemma (3.4.6). Wir ersetzen $f$ durch das verschobene Polynom $z\mapsto f(z-z_{\infty})$. Dieses neue $f$ erfüllt $\vert f(0)\vert=\inf\{\vert f(z)\vert:z\in\protect\mathbb{C}\}$. Angenommen $\inf\{\vert f(z)\vert:z\in\protect\mathbb{C}\}>0$.

Falls $f(z)=a_0+a_nz^n$ mit $a_n\ne 0$, so ist $f(z_0)=0$ für $z_0$ mit $z_0^n=-\frac{a_0}{a_n}$. So ein $z_0$ existiert, denn sei $-\frac{a_0}{a_n}=r(\cos(\varphi )+i\,\sin(\varphi ))$ die Polarzerlegung (1.7.2) mit $r=\vert-\frac{a_0}{a_n}\vert\geq 0$ und $\varphi \in\protect\mathbb{R}$. Dann ist $z_0:=\sqrt[n]{r}\,\left(\cos(\frac{\varphi }{n})+i\sin(\frac{\varphi }{n})\right)$ die gesuchte Lösung nach der Formel (1.7.3) von Moivre.

Sei nun $f$ ein beliebiges Polynom vom Grad $n$. Dann ist

$$f(z)=a_0+a_mz^m+g(z)\,z^{m+1}$$

mit einem Polynom $g$ und $a_m\ne 0$. Für $z$ mit $z^m=-\frac{a_0}{a_m}\,\varepsilon$ und $0<\varepsilon \leq 1$ so klein, daß

$$\vert z^{m+1}\,g(z)\vert=\vert z^m\vert\,\vert... ...ert a_m\vert}\,\vert z\,g(z)\Vert<\varepsilon \,\frac{\vert a_0\vert}2,$$

gilt

$$\vert f(z)\vert\leq \vert a_0+a_mz^m\vert+\ver... ...-\varepsilon )+\vert z^{m+1}\,g(z)\vert<\vert a_0\vert=\vert f(0)\vert,$$

ein Widerspruch dazu, daß $\vert f(0)\vert=\inf\{\vert f(z)\vert:z\in\protect\mathbb{C}\}$.     []

3.4.8 Fundamentalsatz der Algebra.
Zu jedem Polynom $f$ vom Grad $n$ existieren Zahlen $\alpha _1,\dots,\alpha _n$ und $c\in\protect\mathbb{C}$ s.d. $f(z)=c\,(z-\alpha _1)\cdot\dots\cdot(z-\alpha _n)$ für alle $z\in\protect\mathbb{C}$.

Beweis. Es sei $f$ ein Polynom vom Grad $n$. Nach Lemma (3.4.7) existiert eine Nullstelle $\alpha _1$ von $f$. Folglich ist $f(z)=(z-\alpha _1)\,f_1(z)$ für ein Polynom $f_1$ vom Grad $n-1$ nach (1.4.14). Mittels Induktion erhalten wir $f(z)=\prod_{k\leq n}(z-\alpha _k)\,f_n(z)$ mit einem Polynom $f_n$ vom Grad $n-n=0$, also einer Konstante.     []

3.4.9 Reelle Version des Fundamentalsatzes der Algebra.
Es sei $f$ ein Polynom mit ausschließlich reellen Koeffizienten. Dann ist

$$f(z)=c\,\prod_{k\leq m}(x^2+\beta _k x+\gamma _k)\cdot \prod_{k\leq n-2m}(z-\alpha _k)$$

mit reellen Zahlen $c,\alpha _k,\beta _k,\gamma _k$ und $2m\leq n$ und $\beta _k^2<4\gamma _k$.

Beweis. Falls $f(z_0)=0$ für $z_0=b+i\,c$ mit $c\ne 0$ ist, so ist auch $0=\overline{0}=\overline{\sum_k a_k \, (b+i\,c)^k} =\sum_k a_k\,(b-i\,c)^k=f(\overline{z_0})$. Es ist

$$(z-z_0)\cdot(z-\overline{z_0}) =(z-b-i\,c)\cdot (z-b+i\,c)=(z-b)^2-i^2\,c^2$$

$$=z^2-2bz+b^2+c^2=:z^2+\beta \,z+\gamma$$

mit $\beta =-2b$ und $\gamma =b^2+c^2$, also $\beta ^2=4b^2< 4(b^2+c^2)=4\gamma$. Also ist die komplexen Zerlegung

$$f(z)=c\,\prod_{k} (z-\alpha _k) = c\,\prod_{k\leq m} (z^2+\beta _k\,z+\gamma _k)\cdot\prod_{k\leq n-2m} (z-\alpha _k),$$

wobei die $\alpha _k$ mit $k\leq n-2m$ die reellen Nullstellen sind.     []