Vertauschung von Limiten

3.2.15 Definition. Gleichmäßige Konvergenz.
Für jedes $\bgroup\color{demo}$ s\in S$\egroup$ sei ein Netz $\bgroup\color{demo}$ x_s:T\to X$\egroup$ gegeben. Wir schreiben $\bgroup\color{demo}$ x(t,s):=x_s(t)$\egroup$ . Man sagt das Netz $\bgroup\color{demo}$ x_s$\egroup$ konvergiert gegen $\bgroup\color{demo}$ x_{s,{\infty}}$\egroup$ gleichmäßig in $\bgroup\color{demo}$ s$\egroup$ , wenn

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle \forall \varepsilon >0 \exists t_0\in T\forall t\succeq t_0\forall s\in S:\vert x(t,s)-x_s({\infty})\vert<\varepsilon . $\egroup$

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung von jener in (3.2.8).

3.2.16 Vertauschungssatz.
Es seien $\bgroup\color{demo}$ T$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ S$\egroup$ gerichtete Mengen. Dann ist auch $\bgroup\color{demo}$ T\times S$\egroup$ mit der komponentenweisen Ordnung eine gerichtete Menge. Sei $\bgroup\color{demo}$ x:T\times S\to\protect\mathbb{R}$\egroup$ ein Netz. Falls $\bgroup\color{demo}$ x$\egroup$ konvergiert und für jedes $\bgroup\color{demo}$ t\in T$\egroup$ der Limes $\bgroup\color{demo}$ \lim_s x(t,s)$\egroup$ existiert. So existiert auch $\bgroup\color{demo}$ \lim_t\lim_s x(t,s)$\egroup$ und stimmt überein mit $\bgroup\color{demo}$ \lim_{(t,s)}x(t,s)=:\lim x$\egroup$ .

Umgekehrt, falls $\bgroup\color{demo}$ x(t,s)$\egroup$ in $\bgroup\color{demo}$ t$\egroup$ konvergiert und zwar gleichmäßig bzgl. $\bgroup\color{demo}$ s$\egroup$ und weiters $\bgroup\color{demo}$ \lim_s x(t,s)$\egroup$ existiert für jedes $\bgroup\color{demo}$ t$\egroup$ . So konvergiert $\bgroup\color{demo}$ x$\egroup$ und

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle \lim_{(t,s)} x(t,s)=\lim_t\lim_s x(t,s). $\egroup$

Beweis.
(1) Zu $\bgroup\color{demo}$ \varepsilon >0$\egroup$ existiert nach Voraussetzung ein Index $\bgroup\color{demo}$ (t_0,s_0)$\egroup$ mit $\bgroup\color{demo}$ \vert x_{t,s}-\lim x\vert< \varepsilon $\egroup$ für alle $\bgroup\color{demo}$ (t,s)\succeq (t_0,s_0)$\egroup$ . Damit ist aber $\bgroup\color{demo}$ \vert\lim_s x(t,s)-\lim x\vert\leq \varepsilon $\egroup$ für alle $\bgroup\color{demo}$ t\succeq t_0$\egroup$ und somit konvergiert $\bgroup\color{demo}$ t\mapsto \lim_s x(t,s)$\egroup$ gegen $\bgroup\color{demo}$ \lim x$\egroup$ , d.h. $\bgroup\color{demo}$ \lim_t\lim_s x(t,s)=\lim x$\egroup$ .

(2) Es sei $\bgroup\color{demo}$ x_{t,{\infty}}:=\lim_s x(t,s)$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ x_{{\infty},s}:=\lim_t x(t,s)$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ \varepsilon >0$\egroup$ .

$\exists s_0$ $\forall s\succeq s_0$ $\forall t$ : $\vert x_{t,s}-x_{t,{\infty}}\vert<\varepsilon$ . Also ist $\vert x_{t,s_1}-x_{t,s_2}\vert<2\varepsilon$ für alle $s_1,s_2\succeq s_0$ und alle .
$\exists t_0$ $\forall t\succeq t_0$ : $\vert x_{t,s_0}-x_{{\infty},s_0}\vert<\varepsilon$ . Also ist $\vert x_{t_1,s_0}-x_{t_2,s_0}\vert<2\varepsilon$ für alle $t_1,t_2\succeq t_0$ .

Somit is für alle $\bgroup\color{demo}$ t_1,t_2\succeq t_0$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ s_1,s_2\succeq s_0$\egroup$ :

$\displaystyle \vert x_{t_1,s_1}-x_{t_2,s_2}\vert \leq \underbrace{\vert x_{t_1,... ...t_2,s_0}-x_{t_2,s_2}\vert}_{<2\varepsilon \text{ nach (1)}} \leq 6\varepsilon .$

Somit ist $\bgroup\color{demo}$ x$\egroup$ konvergent und wegen dem 1. Teil gilt die Aussage über die Grenzwerte. []

3.2.17 Cauchy'scher Doppelreihensatz.
Es konvergiere $\bgroup\color{demo}$ \sum_j \sum_k \vert a_{j,k}\vert$\egroup$ . Dann konvergiert $\bgroup\color{demo}$ \sum_{j,k} a_{j,k}$\egroup$ , $\bgroup\color{demo}$ \sum_j a_{j,k}$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ \sum_k a_{j,k}$\egroup$ und es gilt

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}a_{j,k} ... ..._{j,k=0}^{\infty}a_{j,k} =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}a_{j,k} $\egroup$

Beachte, daß die Konvergenz der Doppelreihe $\bgroup\color{demo}$ \sum_{j,k} a_{j,k}$\egroup$ bedeutet, daß das Netz der Partialsummen $\bgroup\color{demo}$ x:(t,s)\mapsto \sum_{j\leq t,k\leq s} a_{j,k}$\egroup$ mit der Indexmenge $\bgroup\color{demo}$ \protect\mathbb{N}\times \protect\mathbb{N}$\egroup$ bzgl. der Produktordnung $\bgroup\color{demo}$ (j,k)\preceq (l',j')\Leftrightarrow j\leq j'$\egroup$ und $\bgroup\color{demo}$ k\leq k'$\egroup$ konvergiert.

Beweis. Nach (3.2.16) müssen wir die Konvergenz von $\bgroup\color{demo}$ x(t,s)$\egroup$ bzgl. $\bgroup\color{demo}$ s$\egroup$ und zwar gleichmäßig in $\bgroup\color{demo}$ t$\egroup$ zeigen, sowie die Konvergenz von $\bgroup\color{demo}$ x(t,s)$\egroup$ bzgl. $\bgroup\color{demo}$ t$\egroup$ bei fixen $\bgroup\color{demo}$ s$\egroup$ .

Es sei $\bgroup\color{demo}$ x(t,{\infty}):=\sum_{j\leq t}\sum_{k=0}^{\infty}a_{j,k}$\egroup$ . Dies existiert, da $\bgroup\color{demo}$ \sum_k a_{j,k}$\egroup$ nach Voraussetzung absolut konvergiert. Weiters sei $\bgroup\color{demo}$ x({\infty},s):=\sum_{k\leq s}\sum_{j=0}^{\infty}a_{j,k}$\egroup$ . Dies existiert, da

$\bgroup\color{demo}$\displaystyle \sum_j \vert a_{j,k}\vert \leq \sum_j\sum_{k=0... ...\leq \sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\vert a_{j,k}\vert<{\infty}. $\egroup$

Dann ist

$\displaystyle \vert x({\infty},s)-x(t,s)\vert$	$\displaystyle =\Bigl\vert\sum_{k\leq s}\sum_{j=0}^{\infty}a_{j,k} - \sum_{j\leq t,k\leq s}a_{j,k} \Bigr\vert$
	$\displaystyle =\Bigl\vert\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k\leq s} a_{j,k} - \sum_{j\leq t}\sum_{k\leq s} a_{j,k} \Bigr\vert$
	$\displaystyle \leq \sum_{j>t} \sum_{k\leq s} \vert a_{j,k}\vert \leq \sum_{j>t} \sum{k=0}^{\infty}\vert a_{j,k}\vert$

und dies konvergiert nach Voraussetzung gegen 0 für $\bgroup\color{demo}$ t\to{\infty}$\egroup$ (unabhängig von $\bgroup\color{demo}$ s$\egroup$ ).

Weiters ist

$\displaystyle \vert x(t,s)-x(t,{\infty})\vert$	$\displaystyle =\Bigl\vert\sum_{j\leq t,k\leq s} a_{j,k}-\sum_{j\leq t}\sum_{k=0... ...s} \sum_{j\leq t} a_{j,k} - \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j\leq t} a_{j,k}\Bigr\vert$
	$\displaystyle =\Bigl\vert\sum_{k>s} \sum_{j\leq t} a_{j,k}\Bigr\vert \leq \sum_... ...sum_{j\leq t} \vert a_{j,k}\vert = \sum_{j\leq t} \sum_{k>s} \vert a_{j,k}\vert$

und dies konvergiert nach Voraussetzung gegen 0 für $\bgroup\color{demo}$ s\to{\infty}$\egroup$ bei fixen $\bgroup\color{demo}$ t$\egroup$ . []

Andreas Kriegl 2003-10-15