Netze

3.2.11 Definition. Netz.
Eine gerichtete Menge ist eine Menge $T$ zusammen mit einer reflexiven und transitiven Relation $\preceq$ die zusätzlich erfüllt, daß für je zwei $t_1,t_2\in T$ ein $t\in T$ existiert mit $t_1\preceq t$ und $t_2\preceq t$.

Ein Netz ist eine Abbildung $x:T\to X$ auf einer gerichten Menge $X$.

Man sagt das Netz $x$ konvergiert gegen $x_{\infty}\in X$, falls

$$\forall \varepsilon >0 \exists t_0\in T\forall t_0\preceq t\in T: \vert x_t-x_{\infty}\vert<\varepsilon .$$

3.2.12 Beispiel.

• Limiten von Folgen
• Limiten von Funktionen
• Einseitige Limiten von Funktionen
• Limes für $x\to\pm{\infty}$ von Funktionen
• Limes einer Doppelfolge, z.B. $(x_n-x_m)_{n,m}$ für eine Cauchy-Folge $(x_n)$.

3.2.13 Lemma. Eigenschaften von Netzen.
Der Grenzwert konvergenter Netze ist eindeutig. Konvergente Netze sind schließlich beschränkt. Die Rechenregel für konvergente Folgen gelten auch für konvergente Netze. Jedes (schließlich) beschränkte und monotone Netz ist konvergent. Ein Netz ist genau dann konvergent, wenn es ein Cauchy-Netz ist.

Beweis. Nur das Cauchy-Kriterium erfordert etwas Aufwand:
( $\Rightarrow$) $\vert x_t-x_s\vert\leq \vert x_t-x_{\infty}\vert+\vert x_{\infty}-x_s\vert<2\varepsilon$.
( $\Leftarrow$) Für jedes $k\in\protect\mathbb{N}$ existiert ein $t_k\in T$ mit $\vert x_t-x_s\vert<\frac{1}k$ für $t_k\preceq t,s$. Wir wählen rekursiv: $s_1:=t_1$, $s_2\succeq s_1,t_2$, ..., $s_{k+1}\succeq s_k,t_{k+1}$,.... Dann ist $k\mapsto x_{s_k}$ eine Cauchy-Folge, denn für $k<m<n$ ist $s_n\succeq s_m\succeq t_k$, also ist $\vert x_{s_n}-x_{s_m}\vert<\frac1{k}$. Sei $x_{\infty}$ der Grenzwert dieser Cauchy-Folge. Dann konvergiert $(x_t)$ gegen $x_{\infty}$, denn zu $\varepsilon >0$ existiert ein $k$ mit $\frac1k\leq \frac{\varepsilon }2$ und $\vert x_{s_k}-x_{\infty}\vert<\frac{\varepsilon }2$. Somit ist

$$\vert x_t-x_{\infty}\vert \leq \vert x_t-x_{s_k}\vert+\vert x_{s_k}-x_{\infty}\vert< 2\frac{\varepsilon }2$$ für $$t\succeq s_k$$

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3.2.14 Lemma. Konvergenz via kofinaler Teilmengen.
Wenn die Indexmenge $T$ eines Netzes eine abzählbare kofinale Teilmenge besitzt, so ist das Netz genau dann konvergent, wenn $\lim_{n\to{\infty}} x(t_n)$ für jede kofinale abzählbare Teilmenge $\{x_n:n\in\protect\mathbb{N}\}$ existiert.

Dabei heißt eine Teilmenge $T_0\subseteq T$ einer gerichteten Menge $T$ kofinal, wenn für jedes $t\in T$ ein $t_0\in T_0$ existiert mit $t_0\preceq t$.

Insbesonders folgt für Funktionen $f:\protect\mathbb{R}^p\to\protect\mathbb{R}^q$: $\exists \lim_{x\to x_{\infty}}f(x)$ $\Leftrightarrow$ $\forall x_n\to x_{\infty}\exists\lim_n f(x_n)$.

Beweis. ( $\Leftarrow$) Beachte, daß $\lim_{n\to{\infty}} x(t_n)$ nicht von der gewählten kofinalen Teilmenge abhängt, denn wenn $\{t_n:n\in\protect\mathbb{N}\}$ und $\{s_n:n\in\protect\mathbb{N}\}$ beide kofinale sind, so auch die Vereinigung, also existiert der Limes der Folge $x(t_1),x(s_1),x(t_2),x(s_2),x(t_3),\dots$ und stimmt somit mit den beiden Häufungswerten $\lim_n x(t_n)$ und $\lim_n x(s_n)$ überein.

Sei also $x_{\infty}$ dieser gemeinsame Limes. Angenommen das Netz $x$ konvergiere nicht gegen $x_{\infty}$ und sei $\{t_n:n\in\protect\mathbb{N}\}$ kofinale. Dann gäbe es ein $\varepsilon >0$ und zu jedem $n\in\protect\mathbb{N}$ ein $s_n\succeq t_n$ mit $\vert x(s_n)-x_{\infty}\vert\geq\varepsilon$, also würde $\lim_n x(s_n)$ für die kofinale Teilmenge $\{s_n:n\in\protect\mathbb{N}\}$ nicht gegen $x_{\infty}$ konvergieren.     []