Oszillation

Es sei $f:X\to\protect\mathbb{R}$ eine beschränkte Funktion. Unter der Oszillation von $f$ verstehen wir

$$\Omega (f):=\sup\{\vert f(x)-f(y)\vert:x,y\in X\} =\sup\,f(X) - \inf\,f(Y).$$

Die Oszillation von $f$ bei $\xi$ ist

$$\omega _f(\xi ):=\inf\Bigl\{\Omega (f\vert _{U_\delta (x)}):\delta >0\Bigr\}\geq 0.$$

3.2.9 Lemma. Stetigkeit via Oszillation.
Es sei $f:X\to\protect\mathbb{R}$ eine beschränkte reell-wertige Funktion. Dann ist $f$ genau dann bei $\xi \in X$ stetig, wenn die Oszillation $\omega _f(\xi )=0$ ist.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Für jedes $\varepsilon >0$ existiert also ein $\delta >0$, s.d. $\vert f(x)-f(\xi )\vert<\varepsilon$ für $\vert x-\xi \vert<\delta$. Damit ist $\Omega (f\vert _{U_\delta (\xi )})\leq 2\varepsilon$ und somit $\omega _f(\xi )\leq 2\varepsilon$. ( $\Leftarrow$) Es sei $\omega _f(\xi )=0$ und $\varepsilon >0$. Dann existiert ein $\delta >0$ mit $\Omega (f\vert _{U_\delta (\xi )})<\varepsilon$, also ist $\vert f(x)-f(y)\vert\leq \Omega (f\vert _{U_\delta (\xi )})<\varepsilon$ für alle $x,y\in U_\delta (\xi )\cap X$ und insbesonders für $y=\xi$ und $\vert x-\xi \vert<\delta$. Folglich ist $f$ stetig bei $\xi$.     []

3.2.10 Bemerkung. Menge der Unstetigkeitspunkte.
Es sei $f:X\to\protect\mathbb{R}$ eine beschränkte Funktion auf einen Kompaktum $X$ und $\Delta (f)$ die Menge der Unstetigkeitspunkte. Nach (3.2.9) ist $\Delta (f)=\bigcup_{n\in\protect\mathbb{N}}\Delta _{1/n}(f)$, wobei $\Delta _\varepsilon (f):=\{\xi :\omega _f(\xi )\geq\varepsilon \}$. Die Mengen $\Delta _\varepsilon (f)$ sind abgeschlossen, denn sei $\xi \notin \Delta _\varepsilon (f)$, also $\omega _f(\xi )<\varepsilon$. Dann ist für hinreichend kleine $\delta$ auch $\Omega (f\vert _{U_\delta (\xi )})<\varepsilon$ (beachte die Monotonie von $\Omega$ bzgl. $\delta$). Somit ist auch $\omega _f(x)<\varepsilon$ für alle $x\in U_\delta (\xi )$, d.h. $x\notin \Delta _{\varepsilon }(f)$.