Einführung in das mathematische Arbeiten

Lösung für Aufgabe 7.3.82

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene

, die durch die Schnittgerade der Ebenen 2x1+x2+5x3=31 und -4x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=50 geht und den Punkt P=(-5,2,3) enthält. Berechnen Sie eine Gleichung der Kugel, die diese Ebene im Punkt P berührt und durch den Punkt Q=(-6,0,-4) geht.

Die Schnittgerade der beiden Ebenen ist g:X=(9,18,-1)+t(3,4,-2). Die Ebene \eps hat die Gleichung \eps: -2x+2y+z=17. Der Mittelpunkt M der Kugel liegt auf der Normalgeraden von \eps durch P. Diese Gerade hat die Gleichung n:(-5,2,3)+t(-2,2,1). Außerdem muss \|M-P\|=\|M-Q\| gelten. Wegen \|M-P\|=3t und \|M-Q\|=3\sqrt{t^2+2t+6} gilt t=-3, also M=(1,-4,0), und die Kugelgleichung ist \ka:(x-1)^2+(y+4)^2+z^2=9.