Lösung für Aufgabe 7.3.82
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $\varepsilon$, die durch die Schnittgerade der Ebenen $2x_{1}+x_{2}+5x_{3}=31$ und $-4x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=50$ geht und den Punkt $P=(-5,2,3)$ enthält. Berechnen Sie eine Gleichung der Kugel, die diese Ebene im Punkt $P$ berührt und durch den Punkt $Q=(-6,0,-4)$ geht.Die Schnittgerade der beiden Ebenen ist $g:X=(9,18,-1)+t(3,4,-2)$. Die Ebene $\eps$ hat die Gleichung $\eps: -2x+2y+z=17$. Der Mittelpunkt $M$ der Kugel liegt auf der Normalgeraden von $\eps$ durch $P$. Diese Gerade hat die Gleichung $n:(-5,2,3)+t(-2,2,1)$. Außerdem muss $\|M-P\|=\|M-Q\|$ gelten. Wegen $\|M-P\|=3t$ und $\|M-Q\|=3\sqrt{t^2+2t+6}$ gilt $t=-3$, also $M=(1,-4,0)$, und die Kugelgleichung ist $\ka:(x-1)^2+(y+4)^2+z^2=9$.