Lösung für Aufgabe 7.3.66
Zeigen Sie, dass die Geraden $g:X=(1,2,3)+s(0,-1,1)$ und $h:X=(3,2,1)+t(1,0,1)$ windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand.Die beiden Vektoren $(0,-1,1)$ und $(1,0,1)$ sind offensichtlich nicht kollinear (das sieht man schon an den $0$-Komponenten), und die Geraden schneiden einander nicht, weil die beiden ersten Komponenten der Schnittgleichungen $s=0$ und $t=-2$ erzwingen, diese Parameter die dritte Komponente aber nicht lösen. Der Abstand zweier windschiefer Geraden $g_{Pv}$ und $h_{Qw}$ ist genau der Abstand von $Q$ zur Ebene $\eps=\eps_{Pvw}$. Die HNF von $\eps$ ist $$ \frac{\ip{v\x w}{(x,y,z)}-\ip{v\x w}P}{\|v\x w\|}, $$ der Abstand also $$ d = \left|\frac{\ip{v\x w}Q-\ip{v\x w}P}{\|v\x w\|}\right|= \left|\frac{\ip{v\x w}{Q-P}}{\|v\x w\|}\right| $$ Im vorliegenden Fall ergibt sich $d=-\tfrac43\sqrt{3}$.