Lösung für Aufgabe 6.4.7
Sei $K$ ein geordneter Körper und $1 > b > 0\in K$. Zeigen Sie, dass für $n\geq 2$ folgt, dass $b^{n} < b$ ist.Hinweis: Verwenden Sie Proposition 6.3.2(ii) und vollständige Induktion nach $n$.
Wir nehmen eine Anleihe von Aufgabe 6.3.3 und den in deren Lösung bewiesenen Eigenschaften (A) und (B). Aus (B) folgt dann wegen $1 > b$ sofort $b > b^2$. Damit haben wir den Induktionsanfang für $n=2$ bewiesen. Sei nun schon gezeigt, dass für $n\geq 2$ die Ungleichung $b^n < b$ gilt. Dann finden wir wieder wegen (A) und (B), dass $b < b^2 < bb^n = b^{n+1}$ gilt. Der Rest folgt aus dem Induktionsprinzip.