Lösung für Aufgabe 6.3.3
Sei $(K,+,\cdot,\leq)$ ein geordneter Körper. Beweisen Sie folgende Aussagen für $a,b,c,d\in K$, ausschließlich unter Verwendung der Körperaxiome, der Definition einer Ordnung, der Ordnungsaxiome und Proposition 6.3.2. Begründen Sie jeden ihrer Schritte!- (i) Gleichsinnige Ungleichungen "dürfen" addiert werden, genauer: aus $a < b$ und $c < d$ folgt $a+c < b+d$, oder in leicht verständlicher Symbolik: $$\begin{array}{rcl} a & < & b\\ c & < & d\\\hline a+c& < &b+d\end{array}$$
- (ii) Gleichsinnige Ungleichungen "dürfen" immer dann miteinander multipliziert werden, wenn alle Glieder positiv sind, genauer: aus $0 < a < b$ und $0 < c < d$ folgt $ac < bd$, oder in leicht verständlicher Symbolik: $$\begin{array}{rcccl} 0& < &a& < &b\\ 0& < &c& < &d\\\hline &&ac& < &bd\end{array}$$
Bevor wir die beiden Aussagen beweisen, zeigen wir eine nützliche Tatsache für Ordnungsrelationen, nämlich die Transitivität von $< $: Seien $a < b$ und $b < c$. Dann folgt aus der Transitivität von $\leq$ sofort $a\leq c$. Wäre weiters $a=c$, dann folgte aus $a < b$ und $c\leq a$, dass $c\leq b$ wegen der Transitivität von $\leq$, und dann hätten wir $c=b$ wegen der Antisymmetrie von $\leq$, ein Widerspruch zu $b < c$. Daher ist in der Tat $a\neq c$, also $a < c$. Außerdem folgt aus (O1) die folgende Tatsache, die wir mit (A) bezeichnen werden, nämlich dass $a < b$ genau dann, wenn $a+c < b+c$ für $a,b,c\in K$.
Wir beweisen das wie folgt: Sei $a < b$. (O1) impliziert sofort, dass $a+c\leq b+c$ gilt. Weil $K$ ein Körper ist, folgt wegen $a\neq b$ aber $a+c\neq b+c$, also insgesamt $a+c < b+c$. Setzen wir in $a < b\limplies a+c < b+c$ ein für $a=a+c$, $b=b+c$ und $c=-c$, dann erhalten wir $a+c < b+c\limplies a < b$ und damit die behauptete Äquivalenz. Weiters folgt aus (O2) die folgende Behauptung, in der Folge mit (B) bezeichnet, nämlich dass $a < b$ und $0 < c$ impliziert, dass $ac < bc$. Es gilt wegen (A), dass $a < b$ genau, wenn $0 < b-a$. Aus (O2) erhalten wir $0 < (b-a)c = bc - ac$, also $ac < bc$, wieder wegen (A). Wir beweisen zuletzt die beiden Behauptungen aus der Aufgabe:
- (i) Wegen $a < b$ gilt unter Verwendung von (A), dass $a+c < b+c$ ist. Weiters folgt aus $c < d$ wieder unter Verwendung von (A), dass $b+c < b+d$ ist. Die Transitivität von $<$ liefert dann das gewünschte Ergebnis.
- (ii) Wegen $a < b$ und $0 < c$ folgt unter Verwendung von (B), dass $ac < bc$. Wegen $c < d$ und $0 < b$ folgt unter Verwendung von (B), dass $bc < bd$. Die Transitivität von $ < $ liefert $ac < bd$.