Wenn Sie das Buch noch nicht kennen, dann können Sie
hier
weitere Informationen finden.
Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.6
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 6.6 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 6.6.1 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie die Formeln (6.18) für die Operationen in $\H$.
Aufgabe 6.6.2 (Erweiterungsstoff)
Betrachten wir $M_{2}(\C)$, die $2\x2$–Matrizen mit komplexen
Einträgen. Zeigen Sie, dass die Menge $H$ der komplexen Matrizen
der Form
$$
\begin{pmatrix}
z & w \\
-\bar w & \bar z
\end{pmatrix}
$$
mit der Matrixaddition und der Matrixmultiplikation einen
Schiefkörper bildet. Zeigen Sie weiters, dass die Abbildung
$\ph:\H\to H$ mit
$$
\ph(a+ib+jc+kd):=
\begin{pmatrix}
a+ib & c+id \\
-c+id & a-ib
\end{pmatrix}
$$
ein Isomorphismus von $\H$ auf $H$ ist.
Aufgabe 6.6.3 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie, dass die Oktonionen bezüglich $+$ eine abelsche Gruppe
bilden, dass weiters die Distributivgesetze gelten, und zeigen Sie, dass
$0$ Nullelement und $1$ Einselement sind. Überzeugen Sie sich weiters
davon, dass die Oktonionen der Form $(q, 0)$ isomorph zu den Quaternionen
sind.
Aufgabe 6.6.4 (Erweiterungsstoff)
Beweisen Sie, dass für Oktonionen das Alternativgesetz gilt.