Lösung für Aufgabe 5.2.54
Wir definieren die Menge $\operatorname{SL}(2,\R)$ von reellen $2\x2$–Matrizen, deren Determinante (siehe Beispiel 5.2.30) gleich $1$ ist, also $$ \operatorname{SL}(2,\R):=\{A\in M_2(\R):\ \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=1\}. $$ Zeigen Sie, dass $(\operatorname{SL}(2,\R),\cdot)$ eine Untergruppe von $(\operatorname{GL}(2,\R),\cdot)$ ist (siehe dazu Beispiel 5.2.36).Für $A,B\in M_2(\R)$ berechnen wir \begin{eqnarray*} \det(AB)&=&\det\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}= (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})- (a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})(a_{11}b_{12}+a_{12}b{22}) \\ &=& a_{12}a_{21}b_{12}b_{21} - a_{11}a_{22}b_{12}b_{21} - a_{12}a_{21}b_{11}b_{22} + a_{11}a_{22}b_{11}b_{22} \\ &=& (a_{11}a_{22}-a{12}a{21})(b_{11}b_{22}-b{12}b{21}) = \det(A)\det(B). \end{eqnarray*} Für $A,B\in \operatorname{SL}(2,\R)$ folgt also unmittelbar $\det(AB)=\det(A)\det(B)=1\cdot1=1$, also ist $AB\in \operatorname{SL}(2,\R)$. Wegen Aufgabe 5.2.32 wissen wir, dass $$ A\inv = \frac1{\det A}\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{pmatrix} $$ ist. Daraus folgt, dass für invertierbare $A\in M_2(\R)$ $$ \det(A^\inv) = \frac1{(\det A)^1}(a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}) = \frac1{\det A} $$ gilt. Ist $A\in \operatorname{SL}(2,\R)$, so gilt $A\in\operatorname{GL}(2,\R)$, weil $\det A=1\neq 0$ ist, also $\operatorname{SL}(2,\R)\subseteq \operatorname{GL}(2,\R)$. Außerdem folgen für $A,B\in \operatorname{SL}(2,\R)$, dass $AB\in \operatorname{SL}(2,\R)$ und $\det(A\inv)=(\det A)\inv=1\inv = 1$, also $A\inv\in \operatorname{SL}(2,\R)$. Wegen Proposition 5.2.49.(i) ist daher $\operatorname{SL}(2,\R)$ eine Untergruppe von $\operatorname{GL}(2,\R)$.