Lösung für Aufgabe 5.2.32
Beweisen Sie, dass eine $2\x 2$–Matrix $$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$ genau dann ein inverses Element besitzt, wenn $$\det(A):=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$$ gilt.Hinweis: Nehmen Sie an, es gebe eine Inverse $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ also, dass $AB=I$ gilt. Schreiben Sie die entstehenden $4$ Gleichungen an und lösen Sie nach $b_1,\dots, b_4$ auf. Zeigen Sie dann auch noch, dass $BA=I$ gilt. Achtung, das ist eine etwas langwierige Rechnung.
Sei $A\in M_2(\R)$. Dann gilt für eine mögliche Inverse $B\in M_2(\R)$ $$ AB = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21}& a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22}\\a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}& a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. $$ In Gleichungen aufgeschrieben, bedeutet das \begin{eqnarray*} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21}&=&1\\ a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22}&=&0\\ a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}&=&0\\ a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22}&=&1. \end{eqnarray*} Lösen wir nach den $b$ auf, dann erhalten wir \begin{eqnarray*} b_{11} &=& \frac{a_{22}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}} \\ b_{21} &=& \frac{-a_{21}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}} \\ b_{12} &=& \frac{-a_{12}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}} \\ b_{22} &=& \frac{a_{11}}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}, \end{eqnarray*} sofern $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\neq 0$ gilt. Gilt andernfalls $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}= 0$, dann multiplizieren wir die erste Gleichung mit der vierten und ziehen davon das Produkt der zweiten Gleichung mit der dritten ab und erhalten \begin{eqnarray*} 1 &=& 1\cdot 1-0\cdot 0 \\ &=& (a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21})(a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22})- (a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22})(a_{21} b_{11} + a_{22} b_{21}) \\ &=& (\underbrace{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}_0)(b_{11} b_{22}-b_{12} b_{21})\\ &=& 0, \end{eqnarray*} einen Widerspruch. In diesem Fall gibt es also keine Lösung und damit kein Inverses.