Abstract English

We shall develop further the classical Weyl theory for canonical systems, Krein systems, and some other self-adjoint systems. Moreover, we shall develop Weyl theory for equations with singularities and for non-self-adjoint equations, like radial Dirac equations, perturbed spherical Schrödinger equations, various classes of equations rationally depending on the spectral parameter, discrete systems, and block Jacobi matrices.

We shall develop and apply the approach to inverse problems, which goes back to M.G. Krein and is based on the inversion of the bounded and positive operators, which have some simple structure and satisfy operator identities. In the case of the self-adjoint Dirac-type systems this was treated by M.G. Krein, the corresponding operators were operators with difference kernels, which were recovered from spectral functions. For the non-self-adjoint cases, where generalized Weyl matrix functions do not belong to the Herglotz class, we shall recover the corresponding structured operators directly from the Weyl functions. Related topics of the triangular operator factorization and linear similarity of operators will be treated too.

Using a special version of the Bäcklund-Darboux transformation we are going to treat explicitly inverse problems for the case of rational Weyl matrix functions (and some more general classes of Weyl functions) as well. Explicit construction of the fundamental solutions is closely related to the explicit recovery of the potentials from the Weyl functions, that is, to the explicit solution of the inverse problems. Such fundamental solutions will be constructed.

We shall apply our special version of the Bäcklund-Darboux transformation to various discrete and continuous integrable equations. Using (additionally) the so called S-multinodes we shall study equations with $k>1$ space variables. We expect various applications to analysis, random matrix theory, electromagnetics, and quantum mechanics.

To study the initial-boundary value problems we shall use an Inverse Spectral Transform approach, where Weyl theory is of basic importance. We plan to develop this approach much further. In particular, we are going to develop further the applications of the Inverse Spectral Transform to the second harmonic generation model and to apply Weyl theory to the classical Korteweg-de Vries equation, generalizations of nonlinear Schrödinger equation, Camassa-Holm equation, Hashimoto flow on a discrete ark, and Heisenberg magnet chain. Finally, we plan to study the long-time asymptotics of the solutions via a Riemann-Hilbert approach.

Weyl-Theorie und Anfangs-Randwertprobleme
(Abstract German)

Wir haben vor, die klassische Weyl-Theorie für kanonische Systeme, Krein'sche Systeme, sowie andere selbstadjungierte Systeme weiterzuentwickeln. Darüber hinaus werden wir die Weyl-Theorie für Gleichungen mit Singularitäten und für nicht-selbstadjungierte Gleichungen, wie radiale Dirac-Gleichungen, sphärische verstörte Schrödinger-Gleichungen, sowie verschiedene Klassen von Gleichungen die rational vom Spektralparameter abhängen, diskrete Systeme und Jacobi-Blockmatrizen zu entwickeln.

Wir werden eine auf M.G Krein zurückgehende Methode weiterentwickeln und auf inverse Probleme anwenden, die auf der Inversion beschränkter positiver Operatoren basiert, die eine einfache Struktur besitzen und geeignete Operator-Identitäten erfüllen. Dies wurde im Fall der selbstadjungierte Dirac-Typ-Systeme von M.G. Krein behandelt. Die von ihm betrachteten Operatoren waren Operatoren mit Differenzkernen die durch die Spektralfunktionen erhalten wurden. Für die nicht-selbstadjungierten Fälle, in denen die verallgemeinerte Weil’sche Matrixfunktion nicht der Herglotz-Klasse angehört, werden wir die entsprechend strukturierten Operatoren direkt aus den Weyl-Funktionen erhalten. Die verbundete Themen von dreieckiger Faktorisierung und der Ähnlichkeit von Operatoren werden auch behandelt.

Mittels einer speziellen Version der Bäcklund-Darboux Transformation werden wir explizit inverse Probleme für den Fall einer rationalen Weyl-Matrixfunktion (sowie für einige andere umfangreichere Klassen der Weyl-Funktionen) behandeln. Eine explizite Konstruktion der Fundamentallösungen ist eng mit der expliziten Rekonstruction der Potentiale aus den Weyl-Funktionen verbunden, also mit der expliziten Lösung des inversen Problems. Wir wollen solche Fundamentallösungen konstruieren.

Wir werden unsere spezielle Version der Bäcklund-Darboux Transformation auf die diskrete und kontinuierliche integrierbare Systeme anzuwenden. Mittels (zusätzlich) sogenannter S-Multiknoten werden wir Gleichungen mit $k>1$ Raumvariablen studieren.

Wir erwarten verschiedene Anwendungsmöglichkeiten in der Analysis, der Theorie der Zufallsmatrizen, im Elektromagnetismus, und in der Quantenmechanik.

Um Anfangs-Randwertprobleme zu untersuchen, werden wir die Methode der inversen Spektraltransformation verwenden, in der die Weyl-Theorie von grossen Bedeutung ist. Wir planen, diese Methode stark weiterzuentwickeln. Insbesondere haben wir vor weitere Anwendungen der inversen Spektraltransformationen auf das Frequenzverdopplungs-Modell zu entwickeln und die Weyl-Theorie auf die klassische Korteweg-de Vries-Gleichung, Verallgemeinerungen der nichtlineare Schrödinger-Gleichung, Camassa-Holm Gleichung, Hashimoto Strömung auf diskretem Bogen, und Heisenberg-Kette anzuwenden. Schliesslich planen wir, das Langzeitverhalten der Lösungen mithilfe der Riemann-Hilbert-Methode zu untersuchen.